Լուծեք {c}{3x+2y=32}{365x+226y=267.6}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + 2 y = 32 } \\ { 365 x + 226 y = 267.6 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = -\frac{8371}{65} = -128\frac{51}{65} \approx -128.784615385$$

$$y = \frac{27193}{130} = 209\frac{23}{130} \approx 209.176923077$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x+2y=32,365x+226y=267.6$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x+2y=32$$

Հանեք 2y հավասարման երկու կողմից:

$$3x=-2y+32$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+32\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -2y+32:

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}$$

Փոխարինեք \frac{-2y+32}{3}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 365x+226y=267.6:

$$365\left(-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}\right)+226y=267.6$$

Բազմապատկեք 365 անգամ \frac{-2y+32}{3}:

$$-\frac{730}{3}y+\frac{11680}{3}+226y=267.6$$

Գումարեք -\frac{730y}{3} 226y-ին:

$$-\frac{52}{3}y+\frac{11680}{3}=267.6$$

Հանեք \frac{11680}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{52}{3}y=-\frac{54386}{15}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{52}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{27193}{130}$$

Փոխարինեք \frac{27193}{130}-ը y-ով x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{27193}{130}+\frac{32}{3}$$

Բազմապատկեք -\frac{2}{3} անգամ \frac{27193}{130}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{27193}{195}+\frac{32}{3}$$

Գումարեք \frac{32}{3} -\frac{27193}{195}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-\frac{8371}{65}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{8371}{65},y=\frac{27193}{130}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3x+2y=32,365x+226y=267.6$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 մատրիցայի՝ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) դեպքում հակադարձ մատրիցան հետևյալն է՝ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ուստի մատրիցայի հավասարումը կարելի է վերագրել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{226}{3\times 226-2\times 365}&-\frac{2}{3\times 226-2\times 365}\\-\frac{365}{3\times 226-2\times 365}&\frac{3}{3\times 226-2\times 365}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{113}{26}&\frac{1}{26}\\\frac{365}{52}&-\frac{3}{52}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{113}{26}\times 32+\frac{1}{26}\times 267.6\\\frac{365}{52}\times 32-\frac{3}{52}\times 267.6\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8371}{65}\\\frac{27193}{130}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-\frac{8371}{65},y=\frac{27193}{130}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3x+2y=32,365x+226y=267.6$$

3x-ը և 365x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 365-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$365\times 3x+365\times 2y=365\times 32,3\times 365x+3\times 226y=3\times 267.6$$

Պարզեցնել:

$$1095x+730y=11680,1095x+678y=802.8$$

Հանեք 1095x+678y=802.8 1095x+730y=11680-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$1095x-1095x+730y-678y=11680-802.8$$

Գումարեք 1095x -1095x-ին: 1095x-ը և -1095x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$730y-678y=11680-802.8$$

Գումարեք 730y -678y-ին:

$$52y=11680-802.8$$

Գումարեք 11680 -802.8-ին:

$$52y=10877.2$$

Բաժանեք երկու կողմերը 52-ի:

$$y=\frac{27193}{130}$$

Փոխարինեք \frac{27193}{130}-ը y-ով 365x+226y=267.6-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$365x+226\times \frac{27193}{130}=267.6$$

Բազմապատկեք 226 անգամ \frac{27193}{130}:

$$365x+\frac{3072809}{65}=267.6$$

Հանեք \frac{3072809}{65} հավասարման երկու կողմից:

$$365x=-\frac{611083}{13}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 365-ի:

$$x=-\frac{8371}{65}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{8371}{65},y=\frac{27193}{130}$$