Լուծեք {c}{2.7x+3.1y=42.5}{x+y=15}

$$\left. \begin{array} { c } { 2.7 x + 3.1 y = 42.5 } \\ { x + y = 15 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=10$$

$$y=5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2.7x+3.1y=42.5,x+y=15$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2.7x+3.1y=42.5$$

Հանեք \frac{31y}{10} հավասարման երկու կողմից:

$$2.7x=-3.1y+42.5$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը 2.7-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$x=\frac{10}{27}\left(-3.1y+42.5\right)$$

Բազմապատկեք \frac{10}{27} անգամ -\frac{31y}{10}+42.5:

$$x=-\frac{31}{27}y+\frac{425}{27}$$

Փոխարինեք \frac{-31y+425}{27}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ x+y=15:

$$-\frac{31}{27}y+\frac{425}{27}+y=15$$

Գումարեք -\frac{31y}{27} y-ին:

$$-\frac{4}{27}y+\frac{425}{27}=15$$

Հանեք \frac{425}{27} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{4}{27}y=-\frac{20}{27}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{4}{27}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=5$$

Փոխարինեք 5-ը y-ով x=-\frac{31}{27}y+\frac{425}{27}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{31}{27}\times 5+\frac{425}{27}$$

Բազմապատկեք -\frac{31}{27} անգամ 5:

$$x=\frac{-155+425}{27}$$

Գումարեք \frac{425}{27} -\frac{155}{27}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=10$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=10,y=5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2.7x+3.1y=42.5,x+y=15$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2.7-3.1}&-\frac{3.1}{2.7-3.1}\\-\frac{1}{2.7-3.1}&\frac{2.7}{2.7-3.1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2.5&7.75\\2.5&-6.75\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2.5\times 42.5+7.75\times 15\\2.5\times 42.5-6.75\times 15\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=10,y=5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2.7x+3.1y=42.5,x+y=15$$

\frac{27x}{10}-ը և x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2.7-ով:

$$2.7x+3.1y=42.5,2.7x+2.7y=2.7\times 15$$

Պարզեցնել:

$$2.7x+3.1y=42.5,2.7x+2.7y=40.5$$

Հանեք 2.7x+2.7y=40.5 2.7x+3.1y=42.5-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$2.7x-2.7x+3.1y-2.7y=\frac{85-81}{2}$$

Գումարեք \frac{27x}{10} -\frac{27x}{10}-ին: \frac{27x}{10}-ը և -\frac{27x}{10}-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$3.1y-2.7y=\frac{85-81}{2}$$

Գումարեք \frac{31y}{10} -\frac{27y}{10}-ին:

$$0.4y=\frac{85-81}{2}$$

Գումարեք 42.5 -40.5-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$0.4y=2$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը 0.4-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=5$$

Փոխարինեք 5-ը y-ով x+y=15-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x+5=15$$

Հանեք 5 հավասարման երկու կողմից:

$$x=10$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=10,y=5$$