Լուծեք {c}{2x+9y=-7}{6x-3y=9}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 9 y = - 7 } \\ { 6 x - 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=1$$

$$y=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x+9y=-7,6x-3y=9$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x+9y=-7$$

Հանեք 9y հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-9y-7$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(-9y-7\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -9y-7:

$$x=-\frac{9}{2}y-\frac{7}{2}$$

Փոխարինեք \frac{-9y-7}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 6x-3y=9:

$$6\left(-\frac{9}{2}y-\frac{7}{2}\right)-3y=9$$

Բազմապատկեք 6 անգամ \frac{-9y-7}{2}:

$$-27y-21-3y=9$$

Գումարեք -27y -3y-ին:

$$-30y-21=9$$

Գումարեք 21 հավասարման երկու կողմին:

$$-30y=30$$

Բաժանեք երկու կողմերը -30-ի:

$$y=-1$$

Փոխարինեք -1-ը y-ով x=-\frac{9}{2}y-\frac{7}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{9}{2}\left(-1\right)-\frac{7}{2}$$

Բազմապատկեք -\frac{9}{2} անգամ -1:

$$x=\frac{9-7}{2}$$

Գումարեք -\frac{7}{2} \frac{9}{2}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1,y=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x+9y=-7,6x-3y=9$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&9\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\9\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&9\\6&-3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&9\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\9\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\9\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-9\times 6}&-\frac{9}{2\left(-3\right)-9\times 6}\\-\frac{6}{2\left(-3\right)-9\times 6}&\frac{2}{2\left(-3\right)-9\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\9\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}&\frac{3}{20}\\\frac{1}{10}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\9\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}\left(-7\right)+\frac{3}{20}\times 9\\\frac{1}{10}\left(-7\right)-\frac{1}{30}\times 9\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=1,y=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x+9y=-7,6x-3y=9$$

2x-ը և 6x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 6-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$6\times 2x+6\times 9y=6\left(-7\right),2\times 6x+2\left(-3\right)y=2\times 9$$

Պարզեցնել:

$$12x+54y=-42,12x-6y=18$$

Հանեք 12x-6y=18 12x+54y=-42-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$12x-12x+54y+6y=-42-18$$

Գումարեք 12x -12x-ին: 12x-ը և -12x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$54y+6y=-42-18$$

Գումարեք 54y 6y-ին:

$$60y=-42-18$$

Գումարեք -42 -18-ին:

$$60y=-60$$

Բաժանեք երկու կողմերը 60-ի:

$$y=-1$$

Փոխարինեք -1-ը y-ով 6x-3y=9-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$6x-3\left(-1\right)=9$$

Բազմապատկեք -3 անգամ -1:

$$6x+3=9$$

Հանեք 3 հավասարման երկու կողմից:

$$6x=6$$

Բաժանեք երկու կողմերը 6-ի:

$$x=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1,y=-1$$