Լուծեք {c}{2x+6y=7}{x-y=4}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 6 y = 7 } \\ { x - y = 4 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{31}{8} = 3\frac{7}{8} = 3.875$$

$$y=-\frac{1}{8}=-0.125$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x+6y=7,x-y=4$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x+6y=7$$

Հանեք 6y հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-6y+7$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(-6y+7\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -6y+7:

$$x=-3y+\frac{7}{2}$$

Փոխարինեք -3y+\frac{7}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ x-y=4:

$$-3y+\frac{7}{2}-y=4$$

Գումարեք -3y -y-ին:

$$-4y+\frac{7}{2}=4$$

Հանեք \frac{7}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$-4y=\frac{1}{2}$$

Բաժանեք երկու կողմերը -4-ի:

$$y=-\frac{1}{8}$$

Փոխարինեք -\frac{1}{8}-ը y-ով x=-3y+\frac{7}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-3\left(-\frac{1}{8}\right)+\frac{7}{2}$$

Բազմապատկեք -3 անգամ -\frac{1}{8}:

$$x=\frac{3}{8}+\frac{7}{2}$$

Գումարեք \frac{7}{2} \frac{3}{8}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=\frac{31}{8}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{31}{8},y=-\frac{1}{8}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x+6y=7,x-y=4$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&6\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&6\\1&-1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&6\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-6}&-\frac{6}{2\left(-1\right)-6}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-6}&\frac{2}{2\left(-1\right)-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{3}{4}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 7+\frac{3}{4}\times 4\\\frac{1}{8}\times 7-\frac{1}{4}\times 4\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{31}{8}\\-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{31}{8},y=-\frac{1}{8}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x+6y=7,x-y=4$$

2x-ը և x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$2x+6y=7,2x+2\left(-1\right)y=2\times 4$$

Պարզեցնել:

$$2x+6y=7,2x-2y=8$$

Հանեք 2x-2y=8 2x+6y=7-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$2x-2x+6y+2y=7-8$$

Գումարեք 2x -2x-ին: 2x-ը և -2x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$6y+2y=7-8$$

Գումարեք 6y 2y-ին:

$$8y=7-8$$

Գումարեք 7 -8-ին:

$$8y=-1$$

Բաժանեք երկու կողմերը 8-ի:

$$y=-\frac{1}{8}$$

Փոխարինեք -\frac{1}{8}-ը y-ով x-y=4-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x-\left(-\frac{1}{8}\right)=4$$

Հանեք \frac{1}{8} հավասարման երկու կողմից:

$$x=\frac{31}{8}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{31}{8},y=-\frac{1}{8}$$