Լուծեք {c}{2x+3y-10=0}{4x=3y+20}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 3 y - 10 = 0 } \\ { 4 x = 3 y + 20 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=5$$

$$y=0$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավելել 10-ը երկու կողմերում: Ցանկացած թվին գումարելով զրո ստացվում է նույն թիվը:

$$2x+3y=10$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 3y երկու կողմերից:

$$4x-3y=20$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x+3y=10,4x-3y=20$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x+3y=10$$

Հանեք 3y հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-3y+10$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+10\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -3y+10:

$$x=-\frac{3}{2}y+5$$

Փոխարինեք -\frac{3y}{2}+5-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 4x-3y=20:

$$4\left(-\frac{3}{2}y+5\right)-3y=20$$

Բազմապատկեք 4 անգամ -\frac{3y}{2}+5:

$$-6y+20-3y=20$$

Գումարեք -6y -3y-ին:

$$-9y+20=20$$

Հանեք 20 հավասարման երկու կողմից:

$$-9y=0$$

Բաժանեք երկու կողմերը -9-ի:

$$y=0$$

Փոխարինեք 0-ը y-ով x=-\frac{3}{2}y+5-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=5$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=5,y=0$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավելել 10-ը երկու կողմերում: Ցանկացած թվին գումարելով զրո ստացվում է նույն թիվը:

$$2x+3y=10$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 3y երկու կողմերից:

$$4x-3y=20$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x+3y=10,4x-3y=20$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&3\\4&-3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-3\times 4}&-\frac{3}{2\left(-3\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-3\right)-3\times 4}&\frac{2}{2\left(-3\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 10+\frac{1}{6}\times 20\\\frac{2}{9}\times 10-\frac{1}{9}\times 20\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=5,y=0$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավելել 10-ը երկու կողմերում: Ցանկացած թվին գումարելով զրո ստացվում է նույն թիվը:

$$2x+3y=10$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 3y երկու կողմերից:

$$4x-3y=20$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x+3y=10,4x-3y=20$$

2x-ը և 4x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 4-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$4\times 2x+4\times 3y=4\times 10,2\times 4x+2\left(-3\right)y=2\times 20$$

Պարզեցնել:

$$8x+12y=40,8x-6y=40$$

Հանեք 8x-6y=40 8x+12y=40-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$8x-8x+12y+6y=40-40$$

Գումարեք 8x -8x-ին: 8x-ը և -8x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$12y+6y=40-40$$

Գումարեք 12y 6y-ին:

$$18y=40-40$$

Գումարեք 40 -40-ին:

$$18y=0$$

Բաժանեք երկու կողմերը 18-ի:

$$y=0$$

Փոխարինեք 0-ը y-ով 4x-3y=20-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$4x=20$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=5$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=5,y=0$$