Լուծեք {c}{2x+3y=17}{3x-2y=-0.5}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 3 y = 17 } \\ { 3 x - 2 y = - 0.5 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=2.5$$

$$y=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x+3y=17,3x-2y=-0.5$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x+3y=17$$

Հանեք 3y հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-3y+17$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+17\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -3y+17:

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{17}{2}$$

Փոխարինեք \frac{-3y+17}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3x-2y=-0.5:

$$3\left(-\frac{3}{2}y+\frac{17}{2}\right)-2y=-0.5$$

Բազմապատկեք 3 անգամ \frac{-3y+17}{2}:

$$-\frac{9}{2}y+\frac{51}{2}-2y=-0.5$$

Գումարեք -\frac{9y}{2} -2y-ին:

$$-\frac{13}{2}y+\frac{51}{2}=-0.5$$

Հանեք \frac{51}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{13}{2}y=-26$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{13}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=4$$

Փոխարինեք 4-ը y-ով x=-\frac{3}{2}y+\frac{17}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{3}{2}\times 4+\frac{17}{2}$$

Բազմապատկեք -\frac{3}{2} անգամ 4:

$$x=-6+\frac{17}{2}$$

Գումարեք \frac{17}{2} -6-ին:

$$x=\frac{5}{2}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{5}{2},y=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x+3y=17,3x-2y=-0.5$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\-0.5\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-0.5\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-0.5\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-0.5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times 3}&-\frac{3}{2\left(-2\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-3\times 3}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-0.5\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{3}{13}\\\frac{3}{13}&-\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-0.5\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times 17+\frac{3}{13}\left(-0.5\right)\\\frac{3}{13}\times 17-\frac{2}{13}\left(-0.5\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\4\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{5}{2},y=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x+3y=17,3x-2y=-0.5$$

2x-ը և 3x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$3\times 2x+3\times 3y=3\times 17,2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\left(-0.5\right)$$

Պարզեցնել:

$$6x+9y=51,6x-4y=-1$$

Հանեք 6x-4y=-1 6x+9y=51-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$6x-6x+9y+4y=51+1$$

Գումարեք 6x -6x-ին: 6x-ը և -6x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$9y+4y=51+1$$

Գումարեք 9y 4y-ին:

$$13y=51+1$$

Գումարեք 51 1-ին:

$$13y=52$$

Բաժանեք երկու կողմերը 13-ի:

$$y=4$$

Փոխարինեք 4-ը y-ով 3x-2y=-0.5-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$3x-2\times 4=-0.5$$

Բազմապատկեք -2 անգամ 4:

$$3x-8=-0.5$$

Գումարեք 8 հավասարման երկու կողմին:

$$3x=7.5$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=2.5$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=2.5,y=4$$