Լուծեք {c}{10a+b=10}{-a+b=2}

$$\left. \begin{array} { c } { 10 a + b = 10 } \\ { - a + b = 2 } \end{array} \right.$$

Լուծել a, b-ի համար

$$a=\frac{8}{11}\approx 0.727272727$$

$$b = \frac{30}{11} = 2\frac{8}{11} \approx 2.727272727$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$10a+b=10,-a+b=2$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն a-ի համար՝ առանձնացնելով a-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$10a+b=10$$

Հանեք b հավասարման երկու կողմից:

$$10a=-b+10$$

Բաժանեք երկու կողմերը 10-ի:

$$a=\frac{1}{10}\left(-b+10\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{10} անգամ -b+10:

$$a=-\frac{1}{10}b+1$$

Փոխարինեք -\frac{b}{10}+1-ը a-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -a+b=2:

$$-\left(-\frac{1}{10}b+1\right)+b=2$$

Բազմապատկեք -1 անգամ -\frac{b}{10}+1:

$$\frac{1}{10}b-1+b=2$$

Գումարեք \frac{b}{10} b-ին:

$$\frac{11}{10}b-1=2$$

Գումարեք 1 հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{11}{10}b=3$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{11}{10}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$b=\frac{30}{11}$$

Փոխարինեք \frac{30}{11}-ը b-ով a=-\frac{1}{10}b+1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես a-ի համար:

$$a=-\frac{1}{10}\times \frac{30}{11}+1$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{10} անգամ \frac{30}{11}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$a=-\frac{3}{11}+1$$

Գումարեք 1 -\frac{3}{11}-ին:

$$a=\frac{8}{11}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$a=\frac{8}{11},b=\frac{30}{11}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$10a+b=10,-a+b=2$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10-\left(-1\right)}&-\frac{1}{10-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{10-\left(-1\right)}&\frac{10}{10-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&-\frac{1}{11}\\\frac{1}{11}&\frac{10}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 10-\frac{1}{11}\times 2\\\frac{1}{11}\times 10+\frac{10}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{11}\\\frac{30}{11}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի a և b տարրերը:

$$a=\frac{8}{11},b=\frac{30}{11}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$10a+b=10,-a+b=2$$

Հանեք -a+b=2 10a+b=10-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$10a+a+b-b=10-2$$

Գումարեք b -b-ին: b-ը և -b-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$10a+a=10-2$$

Գումարեք 10a a-ին:

$$11a=10-2$$

Գումարեք 10 -2-ին:

$$11a=8$$

Բաժանեք երկու կողմերը 11-ի:

$$a=\frac{8}{11}$$

Փոխարինեք \frac{8}{11}-ը a-ով -a+b=2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես b-ի համար:

$$-\frac{8}{11}+b=2$$

Գումարեք \frac{8}{11} հավասարման երկու կողմին:

$$b=\frac{30}{11}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$a=\frac{8}{11},b=\frac{30}{11}$$