Լուծեք {c}{0.9x+0.49y=605}{x+y=1000}

$$\left. \begin{array} { c } { 0.9 x + 0.49 y = 605 } \\ { x + y = 1000 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{11500}{41} = 280\frac{20}{41} \approx 280.487804878$$

$$y = \frac{29500}{41} = 719\frac{21}{41} \approx 719.512195122$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$0.9x+0.49y=605,x+y=1000$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$0.9x+0.49y=605$$

Հանեք \frac{49y}{100} հավասարման երկու կողմից:

$$0.9x=-0.49y+605$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը 0.9-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$x=\frac{10}{9}\left(-0.49y+605\right)$$

Բազմապատկեք \frac{10}{9} անգամ -\frac{49y}{100}+605:

$$x=-\frac{49}{90}y+\frac{6050}{9}$$

Փոխարինեք -\frac{49y}{90}+\frac{6050}{9}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ x+y=1000:

$$-\frac{49}{90}y+\frac{6050}{9}+y=1000$$

Գումարեք -\frac{49y}{90} y-ին:

$$\frac{41}{90}y+\frac{6050}{9}=1000$$

Հանեք \frac{6050}{9} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{41}{90}y=\frac{2950}{9}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{41}{90}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{29500}{41}$$

Փոխարինեք \frac{29500}{41}-ը y-ով x=-\frac{49}{90}y+\frac{6050}{9}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{49}{90}\times \frac{29500}{41}+\frac{6050}{9}$$

Բազմապատկեք -\frac{49}{90} անգամ \frac{29500}{41}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{144550}{369}+\frac{6050}{9}$$

Գումարեք \frac{6050}{9} -\frac{144550}{369}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=\frac{11500}{41}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{11500}{41},y=\frac{29500}{41}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$0.9x+0.49y=605,x+y=1000$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}0.9&0.49\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}605\\1000\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}0.9&0.49\\1&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.9&0.49\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.9&0.49\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.9&0.49\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}605\\1000\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.9&0.49\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}605\\1000\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.9&0.49\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}605\\1000\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{0.9-0.49}&-\frac{0.49}{0.9-0.49}\\-\frac{1}{0.9-0.49}&\frac{0.9}{0.9-0.49}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}605\\1000\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{100}{41}&-\frac{49}{41}\\-\frac{100}{41}&\frac{90}{41}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}605\\1000\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{100}{41}\times 605-\frac{49}{41}\times 1000\\-\frac{100}{41}\times 605+\frac{90}{41}\times 1000\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11500}{41}\\\frac{29500}{41}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{11500}{41},y=\frac{29500}{41}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$0.9x+0.49y=605,x+y=1000$$

\frac{9x}{10}-ը և x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 0.9-ով:

$$0.9x+0.49y=605,0.9x+0.9y=0.9\times 1000$$

Պարզեցնել:

$$0.9x+0.49y=605,0.9x+0.9y=900$$

Հանեք 0.9x+0.9y=900 0.9x+0.49y=605-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$0.9x-0.9x+0.49y-0.9y=605-900$$

Գումարեք \frac{9x}{10} -\frac{9x}{10}-ին: \frac{9x}{10}-ը և -\frac{9x}{10}-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$0.49y-0.9y=605-900$$

Գումարեք \frac{49y}{100} -\frac{9y}{10}-ին:

$$-0.41y=605-900$$

Գումարեք 605 -900-ին:

$$-0.41y=-295$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -0.41-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{29500}{41}$$

Փոխարինեք \frac{29500}{41}-ը y-ով x+y=1000-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x+\frac{29500}{41}=1000$$

Հանեք \frac{29500}{41} հավասարման երկու կողմից:

$$x=\frac{11500}{41}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{11500}{41},y=\frac{29500}{41}$$