Լուծեք {c}{3/2a+b=1}{a+b/2=7}

$$\left. \begin{array} { c } { \frac { 3 } { 2 } a + b = 1 } \\ { a + \frac { b } { 2 } = 7 } \end{array} \right.$$

Լուծել a, b-ի համար

$$a=26$$

$$b=-38$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$\frac{3}{2}a+b=1,a+\frac{1}{2}b=7$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն a-ի համար՝ առանձնացնելով a-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$\frac{3}{2}a+b=1$$

Հանեք b հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{3}{2}a=-b+1$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{3}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$a=\frac{2}{3}\left(-b+1\right)$$

Բազմապատկեք \frac{2}{3} անգամ -b+1:

$$a=-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}$$

Փոխարինեք \frac{-2b+2}{3}-ը a-ով մյուս հավասարման մեջ՝ a+\frac{1}{2}b=7:

$$-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}+\frac{1}{2}b=7$$

Գումարեք -\frac{2b}{3} \frac{b}{2}-ին:

$$-\frac{1}{6}b+\frac{2}{3}=7$$

Հանեք \frac{2}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{1}{6}b=\frac{19}{3}$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը -6-ով:

$$b=-38$$

Փոխարինեք -38-ը b-ով a=-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես a-ի համար:

$$a=-\frac{2}{3}\left(-38\right)+\frac{2}{3}$$

Բազմապատկեք -\frac{2}{3} անգամ -38:

$$a=\frac{76+2}{3}$$

Գումարեք \frac{2}{3} \frac{76}{3}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$a=26$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$a=26,b=-38$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$\frac{3}{2}a+b=1,a+\frac{1}{2}b=7$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}&-\frac{1}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}\\-\frac{1}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}&\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&4\\4&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2+4\times 7\\4-6\times 7\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}26\\-38\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի a և b տարրերը:

$$a=26,b=-38$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$\frac{3}{2}a+b=1,a+\frac{1}{2}b=7$$

\frac{3a}{2}-ը և a-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ \frac{3}{2}-ով:

$$\frac{3}{2}a+b=1,\frac{3}{2}a+\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}b=\frac{3}{2}\times 7$$

Պարզեցնել:

$$\frac{3}{2}a+b=1,\frac{3}{2}a+\frac{3}{4}b=\frac{21}{2}$$

Հանեք \frac{3}{2}a+\frac{3}{4}b=\frac{21}{2} \frac{3}{2}a+b=1-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$\frac{3}{2}a-\frac{3}{2}a+b-\frac{3}{4}b=1-\frac{21}{2}$$

Գումարեք \frac{3a}{2} -\frac{3a}{2}-ին: \frac{3a}{2}-ը և -\frac{3a}{2}-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$b-\frac{3}{4}b=1-\frac{21}{2}$$

Գումարեք b -\frac{3b}{4}-ին:

$$\frac{1}{4}b=1-\frac{21}{2}$$

Գումարեք 1 -\frac{21}{2}-ին:

$$\frac{1}{4}b=-\frac{19}{2}$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը 4-ով:

$$b=-38$$

Փոխարինեք -38-ը b-ով a+\frac{1}{2}b=7-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես a-ի համար:

$$a+\frac{1}{2}\left(-38\right)=7$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -38:

$$a-19=7$$

Գումարեք 19 հավասարման երկու կողմին:

$$a=26$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$a=26,b=-38$$