Լուծեք {l}{x-2(x+y)=3y-2}{x/3+y/2=3}

$$\left\{ \begin{array}{l}{ x - 2 ( x + y ) = 3 y - 2 }\\{ \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 2 } = 3 }\end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=12$$

$$y=-2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -2 x+y-ով բազմապատկելու համար:

$$x-2x-2y=3y-2$$

Համակցեք x և -2x և ստացեք -x:

$$-x-2y=3y-2$$

Հանեք 3y երկու կողմերից:

$$-x-2y-3y=-2$$

Համակցեք -2y և -3y և ստացեք -5y:

$$-x-5y=-2$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 6-ով՝ 3,2-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$2x+3y=18$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$-x-5y=-2,2x+3y=18$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$-x-5y=-2$$

Գումարեք 5y հավասարման երկու կողմին:

$$-x=5y-2$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$x=-\left(5y-2\right)$$

Բազմապատկեք -1 անգամ 5y-2:

$$x=-5y+2$$

Փոխարինեք -5y+2-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 2x+3y=18:

$$2\left(-5y+2\right)+3y=18$$

Բազմապատկեք 2 անգամ -5y+2:

$$-10y+4+3y=18$$

Գումարեք -10y 3y-ին:

$$-7y+4=18$$

Հանեք 4 հավասարման երկու կողմից:

$$-7y=14$$

Բաժանեք երկու կողմերը -7-ի:

$$y=-2$$

Փոխարինեք -2-ը y-ով x=-5y+2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-5\left(-2\right)+2$$

Բազմապատկեք -5 անգամ -2:

$$x=10+2$$

Գումարեք 2 10-ին:

$$x=12$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=12,y=-2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -2 x+y-ով բազմապատկելու համար:

$$x-2x-2y=3y-2$$

Համակցեք x և -2x և ստացեք -x:

$$-x-2y=3y-2$$

Հանեք 3y երկու կողմերից:

$$-x-2y-3y=-2$$

Համակցեք -2y և -3y և ստացեք -5y:

$$-x-5y=-2$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 6-ով՝ 3,2-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$2x+3y=18$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-x-5y=-2,2x+3y=18$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-3-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{-3-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{-3-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{1}{-3-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{5}{7}\\-\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\left(-2\right)+\frac{5}{7}\times 18\\-\frac{2}{7}\left(-2\right)-\frac{1}{7}\times 18\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-2\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=12,y=-2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -2 x+y-ով բազմապատկելու համար:

$$x-2x-2y=3y-2$$

Համակցեք x և -2x և ստացեք -x:

$$-x-2y=3y-2$$

Հանեք 3y երկու կողմերից:

$$-x-2y-3y=-2$$

Համակցեք -2y և -3y և ստացեք -5y:

$$-x-5y=-2$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 6-ով՝ 3,2-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$2x+3y=18$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-x-5y=-2,2x+3y=18$$

-x-ը և 2x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ -1-ով:

$$2\left(-1\right)x+2\left(-5\right)y=2\left(-2\right),-2x-3y=-18$$

Պարզեցնել:

$$-2x-10y=-4,-2x-3y=-18$$

Հանեք -2x-3y=-18 -2x-10y=-4-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-2x+2x-10y+3y=-4+18$$

Գումարեք -2x 2x-ին: -2x-ը և 2x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-10y+3y=-4+18$$

Գումարեք -10y 3y-ին:

$$-7y=-4+18$$

Գումարեք -4 18-ին:

$$-7y=14$$

Բաժանեք երկու կողմերը -7-ի:

$$y=-2$$

Փոխարինեք -2-ը y-ով 2x+3y=18-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$2x+3\left(-2\right)=18$$

Բազմապատկեք 3 անգամ -2:

$$2x-6=18$$

Գումարեք 6 հավասարման երկու կողմին:

$$2x=24$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=12$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=12,y=-2$$