Լուծեք {l}{x/3+y/4=5/6}{3x+20y/5-frac{8y+1}{3}=frac{12x+16y}{15}}

$$\left\{ \begin{array}{l}{ \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = \frac { 5 } { 6 } }\\{ \frac { 3 x + 20 y } { 5 } - \frac { 8 y + 1 } { 3 } = \frac { 12 x + 16 y } { 15 } }\end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=1$$

$$y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 12-ով՝ 3,4,6-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$4x+3y=10$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 15-ով՝ 5,3,15-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$3\left(3x+20y\right)-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 3x+20y-ով բազմապատկելու համար:

$$9x+60y-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -5 8y+1-ով բազմապատկելու համար:

$$9x+60y-40y-5=12x+16y$$

Համակցեք 60y և -40y և ստացեք 20y:

$$9x+20y-5=12x+16y$$

Հանեք 12x երկու կողմերից:

$$9x+20y-5-12x=16y$$

Համակցեք 9x և -12x և ստացեք -3x:

$$-3x+20y-5=16y$$

Հանեք 16y երկու կողմերից:

$$-3x+20y-5-16y=0$$

Համակցեք 20y և -16y և ստացեք 4y:

$$-3x+4y-5=0$$

Հավելել 5-ը երկու կողմերում: Ցանկացած թվին գումարելով զրո ստացվում է նույն թիվը:

$$-3x+4y=5$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$4x+3y=10,-3x+4y=5$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$4x+3y=10$$

Հանեք 3y հավասարման երկու կողմից:

$$4x=-3y+10$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+10\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{4} անգամ -3y+10:

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}$$

Փոխարինեք -\frac{3y}{4}+\frac{5}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -3x+4y=5:

$$-3\left(-\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}\right)+4y=5$$

Բազմապատկեք -3 անգամ -\frac{3y}{4}+\frac{5}{2}:

$$\frac{9}{4}y-\frac{15}{2}+4y=5$$

Գումարեք \frac{9y}{4} 4y-ին:

$$\frac{25}{4}y-\frac{15}{2}=5$$

Գումարեք \frac{15}{2} հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{25}{4}y=\frac{25}{2}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{25}{4}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=2$$

Փոխարինեք 2-ը y-ով x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{3}{4}\times 2+\frac{5}{2}$$

Բազմապատկեք -\frac{3}{4} անգամ 2:

$$x=\frac{-3+5}{2}$$

Գումարեք \frac{5}{2} -\frac{3}{2}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1,y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 12-ով՝ 3,4,6-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$4x+3y=10$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 15-ով՝ 5,3,15-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$3\left(3x+20y\right)-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 3x+20y-ով բազմապատկելու համար:

$$9x+60y-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -5 8y+1-ով բազմապատկելու համար:

$$9x+60y-40y-5=12x+16y$$

Համակցեք 60y և -40y և ստացեք 20y:

$$9x+20y-5=12x+16y$$

Հանեք 12x երկու կողմերից:

$$9x+20y-5-12x=16y$$

Համակցեք 9x և -12x և ստացեք -3x:

$$-3x+20y-5=16y$$

Հանեք 16y երկու կողմերից:

$$-3x+20y-5-16y=0$$

Համակցեք 20y և -16y և ստացեք 4y:

$$-3x+4y-5=0$$

Հավելել 5-ը երկու կողմերում: Ցանկացած թվին գումարելով զրո ստացվում է նույն թիվը:

$$-3x+4y=5$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$4x+3y=10,-3x+4y=5$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{4\times 4-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{4\times 4-3\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 4-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&-\frac{3}{25}\\\frac{3}{25}&\frac{4}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 10-\frac{3}{25}\times 5\\\frac{3}{25}\times 10+\frac{4}{25}\times 5\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=1,y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 12-ով՝ 3,4,6-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$4x+3y=10$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 15-ով՝ 5,3,15-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$3\left(3x+20y\right)-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 3x+20y-ով բազմապատկելու համար:

$$9x+60y-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -5 8y+1-ով բազմապատկելու համար:

$$9x+60y-40y-5=12x+16y$$

Համակցեք 60y և -40y և ստացեք 20y:

$$9x+20y-5=12x+16y$$

Հանեք 12x երկու կողմերից:

$$9x+20y-5-12x=16y$$

Համակցեք 9x և -12x և ստացեք -3x:

$$-3x+20y-5=16y$$

Հանեք 16y երկու կողմերից:

$$-3x+20y-5-16y=0$$

Համակցեք 20y և -16y և ստացեք 4y:

$$-3x+4y-5=0$$

Հավելել 5-ը երկու կողմերում: Ցանկացած թվին գումարելով զրո ստացվում է նույն թիվը:

$$-3x+4y=5$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$4x+3y=10,-3x+4y=5$$

4x-ը և -3x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 4-ով:

$$-3\times 4x-3\times 3y=-3\times 10,4\left(-3\right)x+4\times 4y=4\times 5$$

Պարզեցնել:

$$-12x-9y=-30,-12x+16y=20$$

Հանեք -12x+16y=20 -12x-9y=-30-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-12x+12x-9y-16y=-30-20$$

Գումարեք -12x 12x-ին: -12x-ը և 12x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-9y-16y=-30-20$$

Գումարեք -9y -16y-ին:

$$-25y=-30-20$$

Գումարեք -30 -20-ին:

$$-25y=-50$$

Բաժանեք երկու կողմերը -25-ի:

$$y=2$$

Փոխարինեք 2-ը y-ով -3x+4y=5-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-3x+4\times 2=5$$

Բազմապատկեք 4 անգամ 2:

$$-3x+8=5$$

Հանեք 8 հավասարման երկու կողմից:

$$-3x=-3$$

Բաժանեք երկու կողմերը -3-ի:

$$x=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1,y=2$$