Լուծեք {r}{u-30v=-65}{-3u+80v=165}

$$\left\{ \begin{array} { r } { u - 30 v = - 65 } \\ { - 3 u + 80 v = 165 } \end{array} \right.$$

Լուծել u, v-ի համար

$$u=25$$

$$v=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$u-30v=-65,-3u+80v=165$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն u-ի համար՝ առանձնացնելով u-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$u-30v=-65$$

Գումարեք 30v հավասարման երկու կողմին:

$$u=30v-65$$

Փոխարինեք 30v-65-ը u-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -3u+80v=165:

$$-3\left(30v-65\right)+80v=165$$

Բազմապատկեք -3 անգամ 30v-65:

$$-90v+195+80v=165$$

Գումարեք -90v 80v-ին:

$$-10v+195=165$$

Հանեք 195 հավասարման երկու կողմից:

$$-10v=-30$$

Բաժանեք երկու կողմերը -10-ի:

$$v=3$$

Փոխարինեք 3-ը v-ով u=30v-65-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես u-ի համար:

$$u=30\times 3-65$$

Բազմապատկեք 30 անգամ 3:

$$u=90-65$$

Գումարեք -65 90-ին:

$$u=25$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$u=25,v=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$u-30v=-65,-3u+80v=165$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}&-\frac{-30}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8&-3\\-\frac{3}{10}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\left(-65\right)-3\times 165\\-\frac{3}{10}\left(-65\right)-\frac{1}{10}\times 165\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\3\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի u և v տարրերը:

$$u=25,v=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$u-30v=-65,-3u+80v=165$$

u-ը և -3u-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$-3u-3\left(-30\right)v=-3\left(-65\right),-3u+80v=165$$

Պարզեցնել:

$$-3u+90v=195,-3u+80v=165$$

Հանեք -3u+80v=165 -3u+90v=195-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-3u+3u+90v-80v=195-165$$

Գումարեք -3u 3u-ին: -3u-ը և 3u-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$90v-80v=195-165$$

Գումարեք 90v -80v-ին:

$$10v=195-165$$

Գումարեք 195 -165-ին:

$$10v=30$$

Բաժանեք երկու կողմերը 10-ի:

$$v=3$$

Փոխարինեք 3-ը v-ով -3u+80v=165-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես u-ի համար:

$$-3u+80\times 3=165$$

Բազմապատկեք 80 անգամ 3:

$$-3u+240=165$$

Հանեք 240 հավասարման երկու կողմից:

$$-3u=-75$$

Բաժանեք երկու կողմերը -3-ի:

$$u=25$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$u=25,v=3$$