Լուծեք {r}{7x+3y=-15}{12y-5x=39}

$$\left\{ \begin{array} { r } { 7 x + 3 y = - 15 } \\ { 12 y - 5 x = 39 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-3$$

$$y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$7x+3y=-15,-5x+12y=39$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$7x+3y=-15$$

Հանեք 3y հավասարման երկու կողմից:

$$7x=-3y-15$$

Բաժանեք երկու կողմերը 7-ի:

$$x=\frac{1}{7}\left(-3y-15\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{7} անգամ -3y-15:

$$x=-\frac{3}{7}y-\frac{15}{7}$$

Փոխարինեք \frac{-3y-15}{7}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -5x+12y=39:

$$-5\left(-\frac{3}{7}y-\frac{15}{7}\right)+12y=39$$

Բազմապատկեք -5 անգամ \frac{-3y-15}{7}:

$$\frac{15}{7}y+\frac{75}{7}+12y=39$$

Գումարեք \frac{15y}{7} 12y-ին:

$$\frac{99}{7}y+\frac{75}{7}=39$$

Հանեք \frac{75}{7} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{99}{7}y=\frac{198}{7}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{99}{7}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=2$$

Փոխարինեք 2-ը y-ով x=-\frac{3}{7}y-\frac{15}{7}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{3}{7}\times 2-\frac{15}{7}$$

Բազմապատկեք -\frac{3}{7} անգամ 2:

$$x=\frac{-6-15}{7}$$

Գումարեք -\frac{15}{7} -\frac{6}{7}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-3,y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$7x+3y=-15,-5x+12y=39$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}7&3\\-5&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\39\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}7&3\\-5&12\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\-5&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&3\\-5&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\-5&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\39\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\-5&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\39\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\-5&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\39\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{7\times 12-3\left(-5\right)}&-\frac{3}{7\times 12-3\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{7\times 12-3\left(-5\right)}&\frac{7}{7\times 12-3\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\39\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{33}&-\frac{1}{33}\\\frac{5}{99}&\frac{7}{99}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\39\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{33}\left(-15\right)-\frac{1}{33}\times 39\\\frac{5}{99}\left(-15\right)+\frac{7}{99}\times 39\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-3,y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$7x+3y=-15,-5x+12y=39$$

7x-ը և -5x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -5-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 7-ով:

$$-5\times 7x-5\times 3y=-5\left(-15\right),7\left(-5\right)x+7\times 12y=7\times 39$$

Պարզեցնել:

$$-35x-15y=75,-35x+84y=273$$

Հանեք -35x+84y=273 -35x-15y=75-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-35x+35x-15y-84y=75-273$$

Գումարեք -35x 35x-ին: -35x-ը և 35x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-15y-84y=75-273$$

Գումարեք -15y -84y-ին:

$$-99y=75-273$$

Գումարեք 75 -273-ին:

$$-99y=-198$$

Բաժանեք երկու կողմերը -99-ի:

$$y=2$$

Փոխարինեք 2-ը y-ով -5x+12y=39-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-5x+12\times 2=39$$

Բազմապատկեք 12 անգամ 2:

$$-5x+24=39$$

Հանեք 24 հավասարման երկու կողմից:

$$-5x=15$$

Բաժանեք երկու կողմերը -5-ի:

$$x=-3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-3,y=2$$