Լուծեք {r}{6x-5y=14}{-3x+5y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { r } { 6 x - 5 y = 14 } \\ { - 3 x + 5 y = - 2 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=4$$

$$y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$6x-5y=14,-3x+5y=-2$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$6x-5y=14$$

Գումարեք 5y հավասարման երկու կողմին:

$$6x=5y+14$$

Բաժանեք երկու կողմերը 6-ի:

$$x=\frac{1}{6}\left(5y+14\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{6} անգամ 5y+14:

$$x=\frac{5}{6}y+\frac{7}{3}$$

Փոխարինեք \frac{5y}{6}+\frac{7}{3}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -3x+5y=-2:

$$-3\left(\frac{5}{6}y+\frac{7}{3}\right)+5y=-2$$

Բազմապատկեք -3 անգամ \frac{5y}{6}+\frac{7}{3}:

$$-\frac{5}{2}y-7+5y=-2$$

Գումարեք -\frac{5y}{2} 5y-ին:

$$\frac{5}{2}y-7=-2$$

Գումարեք 7 հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{5}{2}y=5$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{5}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=2$$

Փոխարինեք 2-ը y-ով x=\frac{5}{6}y+\frac{7}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{5}{6}\times 2+\frac{7}{3}$$

Բազմապատկեք \frac{5}{6} անգամ 2:

$$x=\frac{5+7}{3}$$

Գումարեք \frac{7}{3} \frac{5}{3}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=4$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=4,y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$6x-5y=14,-3x+5y=-2$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}6&-5\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-2\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}6&-5\\-3&5\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-5\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-2\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-2\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6\times 5-\left(-5\left(-3\right)\right)}&-\frac{-5}{6\times 5-\left(-5\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{6\times 5-\left(-5\left(-3\right)\right)}&\frac{6}{6\times 5-\left(-5\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-2\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-2\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 14+\frac{1}{3}\left(-2\right)\\\frac{1}{5}\times 14+\frac{2}{5}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=4,y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$6x-5y=14,-3x+5y=-2$$

6x-ը և -3x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 6-ով:

$$-3\times 6x-3\left(-5\right)y=-3\times 14,6\left(-3\right)x+6\times 5y=6\left(-2\right)$$

Պարզեցնել:

$$-18x+15y=-42,-18x+30y=-12$$

Հանեք -18x+30y=-12 -18x+15y=-42-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-18x+18x+15y-30y=-42+12$$

Գումարեք -18x 18x-ին: -18x-ը և 18x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$15y-30y=-42+12$$

Գումարեք 15y -30y-ին:

$$-15y=-42+12$$

Գումարեք -42 12-ին:

$$-15y=-30$$

Բաժանեք երկու կողմերը -15-ի:

$$y=2$$

Փոխարինեք 2-ը y-ով -3x+5y=-2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-3x+5\times 2=-2$$

Բազմապատկեք 5 անգամ 2:

$$-3x+10=-2$$

Հանեք 10 հավասարման երկու կողմից:

$$-3x=-12$$

Բաժանեք երկու կողմերը -3-ի:

$$x=4$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=4,y=2$$