Լուծեք {r}{5p-q=7}{-2p+3q=5}

$$\left\{ \begin{array} { r } { 5 p - q = 7 } \\ { - 2 p + 3 q = 5 } \end{array} \right.$$

Լուծել p, q-ի համար

$$p=2$$

$$q=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն p-ի համար՝ առանձնացնելով p-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$5p-q=7$$

Գումարեք q հավասարման երկու կողմին:

$$5p=q+7$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$p=\frac{1}{5}\left(q+7\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{5} անգամ q+7:

$$p=\frac{1}{5}q+\frac{7}{5}$$

Փոխարինեք \frac{7+q}{5}-ը p-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -2p+3q=5:

$$-2\left(\frac{1}{5}q+\frac{7}{5}\right)+3q=5$$

Բազմապատկեք -2 անգամ \frac{7+q}{5}:

$$-\frac{2}{5}q-\frac{14}{5}+3q=5$$

Գումարեք -\frac{2q}{5} 3q-ին:

$$\frac{13}{5}q-\frac{14}{5}=5$$

Գումարեք \frac{14}{5} հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{13}{5}q=\frac{39}{5}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{13}{5}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$q=3$$

Փոխարինեք 3-ը q-ով p=\frac{1}{5}q+\frac{7}{5}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես p-ի համար:

$$p=\frac{1}{5}\times 3+\frac{7}{5}$$

Բազմապատկեք \frac{1}{5} անգամ 3:

$$p=\frac{3+7}{5}$$

Գումարեք \frac{7}{5} \frac{3}{5}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$p=2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$p=2,q=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\\\frac{2}{13}&\frac{5}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}\times 7+\frac{1}{13}\times 5\\\frac{2}{13}\times 7+\frac{5}{13}\times 5\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի p և q տարրերը:

$$p=2,q=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

5p-ը և -2p-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 5-ով:

$$-2\times 5p-2\left(-1\right)q=-2\times 7,5\left(-2\right)p+5\times 3q=5\times 5$$

Պարզեցնել:

$$-10p+2q=-14,-10p+15q=25$$

Հանեք -10p+15q=25 -10p+2q=-14-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-10p+10p+2q-15q=-14-25$$

Գումարեք -10p 10p-ին: -10p-ը և 10p-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$2q-15q=-14-25$$

Գումարեք 2q -15q-ին:

$$-13q=-14-25$$

Գումարեք -14 -25-ին:

$$-13q=-39$$

Բաժանեք երկու կողմերը -13-ի:

$$q=3$$

Փոխարինեք 3-ը q-ով -2p+3q=5-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես p-ի համար:

$$-2p+3\times 3=5$$

Բազմապատկեք 3 անգամ 3:

$$-2p+9=5$$

Հանեք 9 հավասարման երկու կողմից:

$$-2p=-4$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$p=2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$p=2,q=3$$