Լուծեք {r}{3x-2y/3+4y=13/3}{2(-2y+x)/3-3x/2=-frac{13}{6}}

$$\left\{ \begin{array} { r } { \frac { 3 x - 2 y } { 3 } + 4 y = \frac { 13 } { 3 } } \\ { \frac { 2 ( - 2 y + x ) } { 3 } - \frac { 3 x } { 2 } = - \frac { 13 } { 6 } } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=1$$

$$y=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 3-ով:

$$3x-2y+12y=13$$

Համակցեք -2y և 12y և ստացեք 10y:

$$3x+10y=13$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 6-ով՝ 3,2,6-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$2\times 2\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

Բազմապատկեք 2 և 2-ով և ստացեք 4:

$$4\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 4 -2y+x-ով բազմապատկելու համար:

$$-8y+4x-3\times 3x=-13$$

Բազմապատկեք -3 և 3-ով և ստացեք -9:

$$-8y+4x-9x=-13$$

Համակցեք 4x և -9x և ստացեք -5x:

$$-8y-5x=-13$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x+10y=13,-5x-8y=-13$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x+10y=13$$

Հանեք 10y հավասարման երկու կողմից:

$$3x=-10y+13$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}\left(-10y+13\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -10y+13:

$$x=-\frac{10}{3}y+\frac{13}{3}$$

Փոխարինեք \frac{-10y+13}{3}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -5x-8y=-13:

$$-5\left(-\frac{10}{3}y+\frac{13}{3}\right)-8y=-13$$

Բազմապատկեք -5 անգամ \frac{-10y+13}{3}:

$$\frac{50}{3}y-\frac{65}{3}-8y=-13$$

Գումարեք \frac{50y}{3} -8y-ին:

$$\frac{26}{3}y-\frac{65}{3}=-13$$

Գումարեք \frac{65}{3} հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{26}{3}y=\frac{26}{3}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{26}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=1$$

Փոխարինեք 1-ը y-ով x=-\frac{10}{3}y+\frac{13}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{-10+13}{3}$$

Գումարեք \frac{13}{3} -\frac{10}{3}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1,y=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 3-ով:

$$3x-2y+12y=13$$

Համակցեք -2y և 12y և ստացեք 10y:

$$3x+10y=13$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 6-ով՝ 3,2,6-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$2\times 2\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

Բազմապատկեք 2 և 2-ով և ստացեք 4:

$$4\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 4 -2y+x-ով բազմապատկելու համար:

$$-8y+4x-3\times 3x=-13$$

Բազմապատկեք -3 և 3-ով և ստացեք -9:

$$-8y+4x-9x=-13$$

Համակցեք 4x և -9x և ստացեք -5x:

$$-8y-5x=-13$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3x+10y=13,-5x-8y=-13$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 մատրիցայի՝ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) դեպքում հակադարձ մատրիցան հետևյալն է՝ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ուստի մատրիցայի հավասարումը կարելի է վերագրել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-10\left(-5\right)}&-\frac{10}{3\left(-8\right)-10\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{3\left(-8\right)-10\left(-5\right)}&\frac{3}{3\left(-8\right)-10\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{13}&-\frac{5}{13}\\\frac{5}{26}&\frac{3}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{13}\times 13-\frac{5}{13}\left(-13\right)\\\frac{5}{26}\times 13+\frac{3}{26}\left(-13\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=1,y=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 3-ով:

$$3x-2y+12y=13$$

Համակցեք -2y և 12y և ստացեք 10y:

$$3x+10y=13$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 6-ով՝ 3,2,6-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$2\times 2\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

Բազմապատկեք 2 և 2-ով և ստացեք 4:

$$4\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 4 -2y+x-ով բազմապատկելու համար:

$$-8y+4x-3\times 3x=-13$$

Բազմապատկեք -3 և 3-ով և ստացեք -9:

$$-8y+4x-9x=-13$$

Համակցեք 4x և -9x և ստացեք -5x:

$$-8y-5x=-13$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3x+10y=13,-5x-8y=-13$$

3x-ը և -5x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -5-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$-5\times 3x-5\times 10y=-5\times 13,3\left(-5\right)x+3\left(-8\right)y=3\left(-13\right)$$

Պարզեցնել:

$$-15x-50y=-65,-15x-24y=-39$$

Հանեք -15x-24y=-39 -15x-50y=-65-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-15x+15x-50y+24y=-65+39$$

Գումարեք -15x 15x-ին: -15x-ը և 15x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-50y+24y=-65+39$$

Գումարեք -50y 24y-ին:

$$-26y=-65+39$$

Գումարեք -65 39-ին:

$$-26y=-26$$

Բաժանեք երկու կողմերը -26-ի:

$$y=1$$

Փոխարինեք 1-ը y-ով -5x-8y=-13-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-5x-8=-13$$

Գումարեք 8 հավասարման երկու կողմին:

$$-5x=-5$$

Բաժանեք երկու կողմերը -5-ի:

$$x=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1,y=1$$