Լուծեք {l}{y=kx+b}{x^2/4+y^2=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = k x + b } \\ { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + y ^ { 2 } = 1 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{-2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}$$

$$x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}\text{, }|k|\geq \frac{\sqrt{b^{2}-1}}{2}\text{ or }|b|<1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինման և քառակուսու բանաձևը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք kx երկու կողմերից:

$$y-kx=b$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 4-ով:

$$x^{2}+4y^{2}=4$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$y+\left(-k\right)x=b,x^{2}+4y^{2}=4$$

Լուծեք y+\left(-k\right)x=b-ը y-ի համար՝ առանձնացնելով y-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$y+\left(-k\right)x=b$$

Հանեք \left(-k\right)x հավասարման երկու կողմից:

$$y=kx+b$$

Փոխարինեք kx+b-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ x^{2}+4y^{2}=4:

$$x^{2}+4\left(kx+b\right)^{2}=4$$

kx+b-ի քառակուսի:

$$x^{2}+4\left(k^{2}x^{2}+2bkx+b^{2}\right)=4$$

Բազմապատկեք 4 անգամ k^{2}x^{2}+2bkx+b^{2}:

$$x^{2}+4k^{2}x^{2}+8bkx+4b^{2}=4$$

Գումարեք x^{2} 4k^{2}x^{2}-ին:

$$\left(4k^{2}+1\right)x^{2}+8bkx+4b^{2}=4$$

Հանեք 4 հավասարման երկու կողմից:

$$\left(4k^{2}+1\right)x^{2}+8bkx+4b^{2}-4=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 1+4k^{2}-ը a-ով, 4\times 2kb-ը b-ով և -4+4b^{2}-ը c-ով:

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{\left(8bk\right)^{2}-4\left(4k^{2}+1\right)\left(4b^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

4\times 2kb-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{64b^{2}k^{2}-4\left(4k^{2}+1\right)\left(4b^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 1+4k^{2}:

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{64b^{2}k^{2}+\left(-16k^{2}-4\right)\left(4b^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

Բազմապատկեք -4-16k^{2} անգամ -4+4b^{2}:

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{64b^{2}k^{2}-16\left(b^{2}-1\right)\left(4k^{2}+1\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

Գումարեք 64k^{2}b^{2} -16\left(1+4k^{2}\right)\left(b^{2}-1\right)-ին:

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{16+64k^{2}-16b^{2}}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

Հանեք -16b^{2}+64k^{2}+16-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 1+4k^{2}:

$$x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք -8kb 4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}-ին:

$$x=\frac{-8bk+4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2}$$

Բաժանեք -8bk+4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}-ը 2+8k^{2}-ի վրա:

$$x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1} -8kb-ից:

$$x=\frac{-8bk-4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2}$$

Բաժանեք -8kb-4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}-ը 2+8k^{2}-ի վրա:

$$x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}$$

Երկու լուծման եղանակ կա x-ի համար՝ \frac{2\left(-2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} և -\frac{2\left(2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}}: Փոխարինեք \frac{2\left(-2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}}-ը x-ով y=kx+b հավասրաման մեջ և գտեք y-ի համապատասխան լուծումը, որը համապատասխանում է երկու հավասարմանը:

$$y=k\times \frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}+b$$

Բազմապատկեք k անգամ \frac{2\left(-2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}}:

$$y=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}k+b$$

Այժմ փոխարինեք -\frac{2\left(2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}}-ը x-ով y=kx+b հավասարման մեջ և լուծեք՝ գտնելով y-ի համապատասխան լուծումը, որը համապատասխանում է երկու հավասարմանը:

$$y=k\left(-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\right)+b$$

Բազմապատկեք k անգամ -\frac{2\left(2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}}:

$$y=\left(-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\right)k+b$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}k+b,x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{ or }y=\left(-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\right)k+b,x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}$$

Լուծել x, y-ի համար (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{-2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}\text{; }x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}\text{, }&k\neq -\frac{1}{2}i\text{ and }k\neq \frac{1}{2}i\\x=-\frac{b^{2}-1}{2bk}\text{, }y=\frac{b^{2}+1}{2b}\text{, }&b\neq 0\text{ and }\left(k=-\frac{1}{2}i\text{ or }k=\frac{1}{2}i\right)\end{matrix}\right.$$