Լուծեք {l}{y=7x-2}{y=-10x+3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 7 x - 2 } \\ { y = - 10 x + 3 } \end{array} \right.$$

Լուծել y, x-ի համար

$$x=\frac{5}{17}\approx 0.294117647$$

$$y=\frac{1}{17}\approx 0.058823529$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 7x երկու կողմերից:

$$y-7x=-2$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել 10x-ը երկու կողմերում:

$$y+10x=3$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$y-7x=-2,y+10x=3$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն y-ի համար՝ առանձնացնելով y-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$y-7x=-2$$

Գումարեք 7x հավասարման երկու կողմին:

$$y=7x-2$$

Փոխարինեք 7x-2-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ y+10x=3:

$$7x-2+10x=3$$

Գումարեք 7x 10x-ին:

$$17x-2=3$$

Գումարեք 2 հավասարման երկու կողմին:

$$17x=5$$

Բաժանեք երկու կողմերը 17-ի:

$$x=\frac{5}{17}$$

Փոխարինեք \frac{5}{17}-ը x-ով y=7x-2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y=7\times \frac{5}{17}-2$$

Բազմապատկեք 7 անգամ \frac{5}{17}:

$$y=\frac{35}{17}-2$$

Գումարեք -2 \frac{35}{17}-ին:

$$y=\frac{1}{17}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=\frac{1}{17},x=\frac{5}{17}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 7x երկու կողմերից:

$$y-7x=-2$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել 10x-ը երկու կողմերում:

$$y+10x=3$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$y-7x=-2,y+10x=3$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&-7\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&-7\\1&10\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-7\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{10-\left(-7\right)}&-\frac{-7}{10-\left(-7\right)}\\-\frac{1}{10-\left(-7\right)}&\frac{1}{10-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{17}&\frac{7}{17}\\-\frac{1}{17}&\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{17}\left(-2\right)+\frac{7}{17}\times 3\\-\frac{1}{17}\left(-2\right)+\frac{1}{17}\times 3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}\\\frac{5}{17}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի y և x տարրերը:

$$y=\frac{1}{17},x=\frac{5}{17}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 7x երկու կողմերից:

$$y-7x=-2$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել 10x-ը երկու կողմերում:

$$y+10x=3$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$y-7x=-2,y+10x=3$$

Հանեք y+10x=3 y-7x=-2-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$y-y-7x-10x=-2-3$$

Գումարեք y -y-ին: y-ը և -y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-7x-10x=-2-3$$

Գումարեք -7x -10x-ին:

$$-17x=-2-3$$

Գումարեք -2 -3-ին:

$$-17x=-5$$

Բաժանեք երկու կողմերը -17-ի:

$$x=\frac{5}{17}$$

Փոխարինեք \frac{5}{17}-ը x-ով y+10x=3-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y+10\times \frac{5}{17}=3$$

Բազմապատկեք 10 անգամ \frac{5}{17}:

$$y+\frac{50}{17}=3$$

Հանեք \frac{50}{17} հավասարման երկու կողմից:

$$y=\frac{1}{17}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=\frac{1}{17},x=\frac{5}{17}$$