Լուծեք {l}{y=2x+2}{y=-x-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 2 x + 2 } \\ { y = - x - 5 } \end{array} \right.$$

Լուծել y, x-ի համար

$$x = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2.333333333$$

$$y = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3} \approx -2.666666667$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 2x երկու կողմերից:

$$y-2x=2$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել x-ը երկու կողմերում:

$$y+x=-5$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$y-2x=2,y+x=-5$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն y-ի համար՝ առանձնացնելով y-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$y-2x=2$$

Գումարեք 2x հավասարման երկու կողմին:

$$y=2x+2$$

Փոխարինեք 2+2x-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ y+x=-5:

$$2x+2+x=-5$$

Գումարեք 2x x-ին:

$$3x+2=-5$$

Հանեք 2 հավասարման երկու կողմից:

$$3x=-7$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=-\frac{7}{3}$$

Փոխարինեք -\frac{7}{3}-ը x-ով y=2x+2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y=2\left(-\frac{7}{3}\right)+2$$

Բազմապատկեք 2 անգամ -\frac{7}{3}:

$$y=-\frac{14}{3}+2$$

Գումարեք 2 -\frac{14}{3}-ին:

$$y=-\frac{8}{3}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=-\frac{8}{3},x=-\frac{7}{3}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 2x երկու կողմերից:

$$y-2x=2$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել x-ը երկու կողմերում:

$$y+x=-5$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$y-2x=2,y+x=-5$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 2+\frac{2}{3}\left(-5\right)\\-\frac{1}{3}\times 2+\frac{1}{3}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3}\\-\frac{7}{3}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի y և x տարրերը:

$$y=-\frac{8}{3},x=-\frac{7}{3}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 2x երկու կողմերից:

$$y-2x=2$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել x-ը երկու կողմերում:

$$y+x=-5$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$y-2x=2,y+x=-5$$

Հանեք y+x=-5 y-2x=2-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$y-y-2x-x=2+5$$

Գումարեք y -y-ին: y-ը և -y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-2x-x=2+5$$

Գումարեք -2x -x-ին:

$$-3x=2+5$$

Գումարեք 2 5-ին:

$$-3x=7$$

Բաժանեք երկու կողմերը -3-ի:

$$x=-\frac{7}{3}$$

Փոխարինեք -\frac{7}{3}-ը x-ով y+x=-5-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y-\frac{7}{3}=-5$$

Գումարեք \frac{7}{3} հավասարման երկու կողմին:

$$y=-\frac{8}{3}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=-\frac{8}{3},x=-\frac{7}{3}$$