Լուծեք {l}{y=1-x}{3x-2y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 1 - x } \\ { 3 x - 2 y = 3 } \end{array} \right.$$

Լուծել y, x-ի համար

$$x=1$$

$$y=0$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավելել x-ը երկու կողմերում:

$$y+x=1$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$y+x=1,-2y+3x=3$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն y-ի համար՝ առանձնացնելով y-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$y+x=1$$

Հանեք x հավասարման երկու կողմից:

$$y=-x+1$$

Փոխարինեք -x+1-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -2y+3x=3:

$$-2\left(-x+1\right)+3x=3$$

Բազմապատկեք -2 անգամ -x+1:

$$2x-2+3x=3$$

Գումարեք 2x 3x-ին:

$$5x-2=3$$

Գումարեք 2 հավասարման երկու կողմին:

$$5x=5$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=1$$

Փոխարինեք 1-ը x-ով y=-x+1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y=-1+1$$

Գումարեք 1 -1-ին:

$$y=0$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=0,x=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավելել x-ը երկու կողմերում:

$$y+x=1$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$y+x=1,-2y+3x=3$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&1\\-2&3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-2\right)}&-\frac{1}{3-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3-\left(-2\right)}&\frac{1}{3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&-\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}-\frac{1}{5}\times 3\\\frac{2}{5}+\frac{1}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի y և x տարրերը:

$$y=0,x=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավելել x-ը երկու կողմերում:

$$y+x=1$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$y+x=1,-2y+3x=3$$

y-ը և -2y-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$-2y-2x=-2,-2y+3x=3$$

Հանեք -2y+3x=3 -2y-2x=-2-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-2y+2y-2x-3x=-2-3$$

Գումարեք -2y 2y-ին: -2y-ը և 2y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-2x-3x=-2-3$$

Գումարեք -2x -3x-ին:

$$-5x=-2-3$$

Գումարեք -2 -3-ին:

$$-5x=-5$$

Բաժանեք երկու կողմերը -5-ի:

$$x=1$$

Փոխարինեք 1-ը x-ով -2y+3x=3-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$-2y+3=3$$

Հանեք 3 հավասարման երկու կողմից:

$$-2y=0$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$y=0$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=0,x=1$$