Լուծեք {l}{y=-x+2}{y=3x-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = - x + 2 } \\ { y = 3 x - 4 } \end{array} \right.$$

Լուծել y, x-ի համար

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավելել x-ը երկու կողմերում:

$$y+x=2$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 3x երկու կողմերից:

$$y-3x=-4$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$y+x=2,y-3x=-4$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն y-ի համար՝ առանձնացնելով y-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$y+x=2$$

Հանեք x հավասարման երկու կողմից:

$$y=-x+2$$

Փոխարինեք -x+2-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ y-3x=-4:

$$-x+2-3x=-4$$

Գումարեք -x -3x-ին:

$$-4x+2=-4$$

Հանեք 2 հավասարման երկու կողմից:

$$-4x=-6$$

Բաժանեք երկու կողմերը -4-ի:

$$x=\frac{3}{2}$$

Փոխարինեք \frac{3}{2}-ը x-ով y=-x+2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y=-\frac{3}{2}+2$$

Գումարեք 2 -\frac{3}{2}-ին:

$$y=\frac{1}{2}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=\frac{1}{2},x=\frac{3}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավելել x-ը երկու կողմերում:

$$y+x=2$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 3x երկու կողմերից:

$$y-3x=-4$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$y+x=2,y-3x=-4$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-1}&-\frac{1}{-3-1}\\-\frac{1}{-3-1}&\frac{1}{-3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 2+\frac{1}{4}\left(-4\right)\\\frac{1}{4}\times 2-\frac{1}{4}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի y և x տարրերը:

$$y=\frac{1}{2},x=\frac{3}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավելել x-ը երկու կողմերում:

$$y+x=2$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 3x երկու կողմերից:

$$y-3x=-4$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$y+x=2,y-3x=-4$$

Հանեք y-3x=-4 y+x=2-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$y-y+x+3x=2+4$$

Գումարեք y -y-ին: y-ը և -y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$x+3x=2+4$$

Գումարեք x 3x-ին:

$$4x=2+4$$

Գումարեք 2 4-ին:

$$4x=6$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=\frac{3}{2}$$

Փոխարինեք \frac{3}{2}-ը x-ով y-3x=-4-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y-3\times \frac{3}{2}=-4$$

Բազմապատկեք -3 անգամ \frac{3}{2}:

$$y-\frac{9}{2}=-4$$

Գումարեք \frac{9}{2} հավասարման երկու կողմին:

$$y=\frac{1}{2}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=\frac{1}{2},x=\frac{3}{2}$$