Լուծեք {l}{y=9/4x+53/6}{y=8/5x+20/3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = \frac { 9 } { 4 } x + \frac { 53 } { 6 } } \\ { y = \frac { 8 } { 5 } x + \frac { 20 } { 3 } } \end{array} \right.$$

Լուծել y, x-ի համար

$$x = -\frac{10}{3} = -3\frac{1}{3} \approx -3.333333333$$

$$y = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք \frac{9}{4}x երկու կողմերից:

$$y-\frac{9}{4}x=\frac{53}{6}$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք \frac{8}{5}x երկու կողմերից:

$$y-\frac{8}{5}x=\frac{20}{3}$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$y-\frac{9}{4}x=\frac{53}{6},y-\frac{8}{5}x=\frac{20}{3}$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն y-ի համար՝ առանձնացնելով y-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$y-\frac{9}{4}x=\frac{53}{6}$$

Գումարեք \frac{9x}{4} հավասարման երկու կողմին:

$$y=\frac{9}{4}x+\frac{53}{6}$$

Փոխարինեք \frac{9x}{4}+\frac{53}{6}-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ y-\frac{8}{5}x=\frac{20}{3}:

$$\frac{9}{4}x+\frac{53}{6}-\frac{8}{5}x=\frac{20}{3}$$

Գումարեք \frac{9x}{4} -\frac{8x}{5}-ին:

$$\frac{13}{20}x+\frac{53}{6}=\frac{20}{3}$$

Հանեք \frac{53}{6} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{13}{20}x=-\frac{13}{6}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{13}{20}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$x=-\frac{10}{3}$$

Փոխարինեք -\frac{10}{3}-ը x-ով y=\frac{9}{4}x+\frac{53}{6}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y=\frac{9}{4}\left(-\frac{10}{3}\right)+\frac{53}{6}$$

Բազմապատկեք \frac{9}{4} անգամ -\frac{10}{3}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$y=-\frac{15}{2}+\frac{53}{6}$$

Գումարեք \frac{53}{6} -\frac{15}{2}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$y=\frac{4}{3}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=\frac{4}{3},x=-\frac{10}{3}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք \frac{9}{4}x երկու կողմերից:

$$y-\frac{9}{4}x=\frac{53}{6}$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք \frac{8}{5}x երկու կողմերից:

$$y-\frac{8}{5}x=\frac{20}{3}$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$y-\frac{9}{4}x=\frac{53}{6},y-\frac{8}{5}x=\frac{20}{3}$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{9}{4}\\1&-\frac{8}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{53}{6}\\\frac{20}{3}\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&-\frac{9}{4}\\1&-\frac{8}{5}\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{9}{4}\\1&-\frac{8}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{9}{4}\\1&-\frac{8}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{9}{4}\\1&-\frac{8}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{53}{6}\\\frac{20}{3}\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{9}{4}\\1&-\frac{8}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{53}{6}\\\frac{20}{3}\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{9}{4}\\1&-\frac{8}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{53}{6}\\\frac{20}{3}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{8}{5}}{-\frac{8}{5}-\left(-\frac{9}{4}\right)}&-\frac{-\frac{9}{4}}{-\frac{8}{5}-\left(-\frac{9}{4}\right)}\\-\frac{1}{-\frac{8}{5}-\left(-\frac{9}{4}\right)}&\frac{1}{-\frac{8}{5}-\left(-\frac{9}{4}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{53}{6}\\\frac{20}{3}\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{32}{13}&\frac{45}{13}\\-\frac{20}{13}&\frac{20}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{53}{6}\\\frac{20}{3}\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{32}{13}\times \frac{53}{6}+\frac{45}{13}\times \frac{20}{3}\\-\frac{20}{13}\times \frac{53}{6}+\frac{20}{13}\times \frac{20}{3}\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\\-\frac{10}{3}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի y և x տարրերը:

$$y=\frac{4}{3},x=-\frac{10}{3}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք \frac{9}{4}x երկու կողմերից:

$$y-\frac{9}{4}x=\frac{53}{6}$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք \frac{8}{5}x երկու կողմերից:

$$y-\frac{8}{5}x=\frac{20}{3}$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$y-\frac{9}{4}x=\frac{53}{6},y-\frac{8}{5}x=\frac{20}{3}$$

Հանեք y-\frac{8}{5}x=\frac{20}{3} y-\frac{9}{4}x=\frac{53}{6}-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$y-y-\frac{9}{4}x+\frac{8}{5}x=\frac{53}{6}-\frac{20}{3}$$

Գումարեք y -y-ին: y-ը և -y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-\frac{9}{4}x+\frac{8}{5}x=\frac{53}{6}-\frac{20}{3}$$

Գումարեք -\frac{9x}{4} \frac{8x}{5}-ին:

$$-\frac{13}{20}x=\frac{53}{6}-\frac{20}{3}$$

Գումարեք \frac{53}{6} -\frac{20}{3}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$-\frac{13}{20}x=\frac{13}{6}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{13}{20}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$x=-\frac{10}{3}$$

Փոխարինեք -\frac{10}{3}-ը x-ով y-\frac{8}{5}x=\frac{20}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y-\frac{8}{5}\left(-\frac{10}{3}\right)=\frac{20}{3}$$

Բազմապատկեք -\frac{8}{5} անգամ -\frac{10}{3}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$y+\frac{16}{3}=\frac{20}{3}$$

Հանեք \frac{16}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$y=\frac{4}{3}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=\frac{4}{3},x=-\frac{10}{3}$$