Լուծեք {l}{y=-4/5x-9}{y=-8x/3-15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = \frac { - 4 } { 5 } x - 9 } \\ { y = - \frac { 8 x } { 3 } - 15 } \end{array} \right.$$

Լուծել y, x-ի համար

$$x = -\frac{45}{14} = -3\frac{3}{14} \approx -3.214285714$$

$$y = -\frac{45}{7} = -6\frac{3}{7} \approx -6.428571429$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: \frac{-4}{5} կոտորակը կարող է կրկին գրվել որպես -\frac{4}{5}՝ արտահանելով բացասական նշանը:

$$y=-\frac{4}{5}x-9$$

Փոխարինեք -\frac{4x}{5}-9-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3y+8x=-45:

$$3\left(-\frac{4}{5}x-9\right)+8x=-45$$

Բազմապատկեք 3 անգամ -\frac{4x}{5}-9:

$$-\frac{12}{5}x-27+8x=-45$$

Գումարեք -\frac{12x}{5} 8x-ին:

$$\frac{28}{5}x-27=-45$$

Գումարեք 27 հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{28}{5}x=-18$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{28}{5}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$x=-\frac{45}{14}$$

Փոխարինեք -\frac{45}{14}-ը x-ով y=-\frac{4}{5}x-9-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y=-\frac{4}{5}\left(-\frac{45}{14}\right)-9$$

Բազմապատկեք -\frac{4}{5} անգամ -\frac{45}{14}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$y=\frac{18}{7}-9$$

Գումարեք -9 \frac{18}{7}-ին:

$$y=-\frac{45}{7}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=-\frac{45}{7},x=-\frac{45}{14}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: \frac{-4}{5} կոտորակը կարող է կրկին գրվել որպես -\frac{4}{5}՝ արտահանելով բացասական նշանը:

$$y=-\frac{4}{5}x-9$$

Հավելել \frac{4}{5}x-ը երկու կողմերում:

$$y+\frac{4}{5}x=-9$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել \frac{8x}{3}-ը երկու կողմերում:

$$y+\frac{8x}{3}=-15$$

Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 3-ով:

$$3y+8x=-45$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$y+\frac{4}{5}x=-9,3y+8x=-45$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-\frac{4}{5}\times 3}&-\frac{\frac{4}{5}}{8-\frac{4}{5}\times 3}\\-\frac{3}{8-\frac{4}{5}\times 3}&\frac{1}{8-\frac{4}{5}\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{15}{28}&\frac{5}{28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{7}\left(-9\right)-\frac{1}{7}\left(-45\right)\\-\frac{15}{28}\left(-9\right)+\frac{5}{28}\left(-45\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{45}{7}\\-\frac{45}{14}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի y և x տարրերը:

$$y=-\frac{45}{7},x=-\frac{45}{14}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: \frac{-4}{5} կոտորակը կարող է կրկին գրվել որպես -\frac{4}{5}՝ արտահանելով բացասական նշանը:

$$y=-\frac{4}{5}x-9$$

Հավելել \frac{4}{5}x-ը երկու կողմերում:

$$y+\frac{4}{5}x=-9$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել \frac{8x}{3}-ը երկու կողմերում:

$$y+\frac{8x}{3}=-15$$

Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 3-ով:

$$3y+8x=-45$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$y+\frac{4}{5}x=-9,3y+8x=-45$$

y-ը և 3y-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$3y+3\times \frac{4}{5}x=3\left(-9\right),3y+8x=-45$$

Պարզեցնել:

$$3y+\frac{12}{5}x=-27,3y+8x=-45$$

Հանեք 3y+8x=-45 3y+\frac{12}{5}x=-27-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$3y-3y+\frac{12}{5}x-8x=-27+45$$

Գումարեք 3y -3y-ին: 3y-ը և -3y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$\frac{12}{5}x-8x=-27+45$$

Գումարեք \frac{12x}{5} -8x-ին:

$$-\frac{28}{5}x=-27+45$$

Գումարեք -27 45-ին:

$$-\frac{28}{5}x=18$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{28}{5}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$x=-\frac{45}{14}$$

Փոխարինեք -\frac{45}{14}-ը x-ով 3y+8x=-45-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$3y+8\left(-\frac{45}{14}\right)=-45$$

Բազմապատկեք 8 անգամ -\frac{45}{14}:

$$3y-\frac{180}{7}=-45$$

Գումարեք \frac{180}{7} հավասարման երկու կողմին:

$$3y=-\frac{135}{7}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$y=-\frac{45}{7}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=-\frac{45}{7},x=-\frac{45}{14}$$