Լուծեք {l}{x_{1}+x_{2}=97}{frac{x_{2}}{x_{1}}=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x _ { 1 } + x _ { 2 } = 97 } \\ { \frac { x _ { 2 } } { x _ { 1 } } = 2 } \end{array} \right.$$

Լուծել x_1, x_2-ի համար

$$x_{1} = \frac{97}{3} = 32\frac{1}{3} \approx 32.333333333$$

$$x_{2} = \frac{194}{3} = 64\frac{2}{3} \approx 64.666666667$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: x_{1} փոփոխականը չի կարող հավասար լինել 0-ի, քանի որ բաժանումը զրոյի վրա սահմանված չէ: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը x_{1}-ով:

$$x_{2}=2x_{1}$$

Հանեք 2x_{1} երկու կողմերից:

$$x_{2}-2x_{1}=0$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x_{1}+x_{2}=97,-2x_{1}+x_{2}=0$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x_{1}-ի համար՝ առանձնացնելով x_{1}-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x_{1}+x_{2}=97$$

Հանեք x_{2} հավասարման երկու կողմից:

$$x_{1}=-x_{2}+97$$

Փոխարինեք -x_{2}+97-ը x_{1}-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -2x_{1}+x_{2}=0:

$$-2\left(-x_{2}+97\right)+x_{2}=0$$

Բազմապատկեք -2 անգամ -x_{2}+97:

$$2x_{2}-194+x_{2}=0$$

Գումարեք 2x_{2} x_{2}-ին:

$$3x_{2}-194=0$$

Գումարեք 194 հավասարման երկու կողմին:

$$3x_{2}=194$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x_{2}=\frac{194}{3}$$

Փոխարինեք \frac{194}{3}-ը x_{2}-ով x_{1}=-x_{2}+97-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x_{1}-ի համար:

$$x_{1}=-\frac{194}{3}+97$$

Գումարեք 97 -\frac{194}{3}-ին:

$$x_{1}=\frac{97}{3}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x_{1}=\frac{97}{3},x_{2}=\frac{194}{3}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: x_{1} փոփոխականը չի կարող հավասար լինել 0-ի, քանի որ բաժանումը զրոյի վրա սահմանված չէ: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը x_{1}-ով:

$$x_{2}=2x_{1}$$

Հանեք 2x_{1} երկու կողմերից:

$$x_{2}-2x_{1}=0$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x_{1}+x_{2}=97,-2x_{1}+x_{2}=0$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{1}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 97\\\frac{2}{3}\times 97\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{97}{3}\\\frac{194}{3}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x_{1} և x_{2} տարրերը:

$$x_{1}=\frac{97}{3},x_{2}=\frac{194}{3}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: x_{1} փոփոխականը չի կարող հավասար լինել 0-ի, քանի որ բաժանումը զրոյի վրա սահմանված չէ: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը x_{1}-ով:

$$x_{2}=2x_{1}$$

Հանեք 2x_{1} երկու կողմերից:

$$x_{2}-2x_{1}=0$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x_{1}+x_{2}=97,-2x_{1}+x_{2}=0$$

Հանեք -2x_{1}+x_{2}=0 x_{1}+x_{2}=97-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$x_{1}+2x_{1}+x_{2}-x_{2}=97$$

Գումարեք x_{2} -x_{2}-ին: x_{2}-ը և -x_{2}-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$x_{1}+2x_{1}=97$$

Գումարեք x_{1} 2x_{1}-ին:

$$3x_{1}=97$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x_{1}=\frac{97}{3}$$

Փոխարինեք \frac{97}{3}-ը x_{1}-ով -2x_{1}+x_{2}=0-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x_{2}-ի համար:

$$-2\times \frac{97}{3}+x_{2}=0$$

Բազմապատկեք -2 անգամ \frac{97}{3}:

$$-\frac{194}{3}+x_{2}=0$$

Գումարեք \frac{194}{3} հավասարման երկու կողմին:

$$x_{2}=\frac{194}{3}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x_{1}=\frac{97}{3},x_{2}=\frac{194}{3}$$