Լուծեք {l}{x-y=2a}{2x+3y=5-a}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 2 a } \\ { 2 x + 3 y = 5 - a } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=a+1$$

$$y=1-a$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x-y=2a,2x+3y=5-a$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x-y=2a$$

Գումարեք y հավասարման երկու կողմին:

$$x=y+2a$$

Փոխարինեք y+2a-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 2x+3y=5-a:

$$2\left(y+2a\right)+3y=5-a$$

Բազմապատկեք 2 անգամ y+2a:

$$2y+4a+3y=5-a$$

Գումարեք 2y 3y-ին:

$$5y+4a=5-a$$

Հանեք 4a հավասարման երկու կողմից:

$$5y=5-5a$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$y=1-a$$

Փոխարինեք 1-a-ը y-ով x=y+2a-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=1-a+2a$$

Գումարեք 2a 1-a-ին:

$$x=a+1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=a+1,y=1-a$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x-y=2a,2x+3y=5-a$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2a\\5-a\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a\\5-a\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a\\5-a\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a\\5-a\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-2\right)}&\frac{1}{3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2a\\5-a\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2a\\5-a\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 2a+\frac{1}{5}\left(5-a\right)\\-\frac{2}{5}\times 2a+\frac{1}{5}\left(5-a\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a+1\\1-a\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=a+1,y=1-a$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x-y=2a,2x+3y=5-a$$

x-ը և 2x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$2x+2\left(-1\right)y=2\times 2a,2x+3y=5-a$$

Պարզեցնել:

$$2x-2y=4a,2x+3y=5-a$$

Հանեք 2x+3y=5-a 2x-2y=4a-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$2x-2x-2y-3y=4a+a-5$$

Գումարեք 2x -2x-ին: 2x-ը և -2x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-2y-3y=4a+a-5$$

Գումարեք -2y -3y-ին:

$$-5y=4a+a-5$$

Գումարեք 4a -5+a-ին:

$$-5y=5a-5$$

Բաժանեք երկու կողմերը -5-ի:

$$y=1-a$$

Փոխարինեք 1-a-ը y-ով 2x+3y=5-a-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$2x+3\left(1-a\right)=5-a$$

Բազմապատկեք 3 անգամ 1-a:

$$2x+3-3a=5-a$$

Հանեք 3-3a հավասարման երկու կողմից:

$$2x=2a+2$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=a+1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=a+1,y=1-a$$