Լուծեք {l}{x-y=10}{2x+(2y+1/2)=200}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 10 } \\ { 2 x + ( 2 y + \frac { 1 } { 2 } ) = 200 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{439}{8} = 54\frac{7}{8} = 54.875$$

$$y = \frac{359}{8} = 44\frac{7}{8} = 44.875$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x-y=10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x-y=10$$

Գումարեք y հավասարման երկու կողմին:

$$x=y+10$$

Փոխարինեք y+10-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 2x+2y+\frac{1}{2}=200:

$$2\left(y+10\right)+2y+\frac{1}{2}=200$$

Բազմապատկեք 2 անգամ y+10:

$$2y+20+2y+\frac{1}{2}=200$$

Գումարեք 2y 2y-ին:

$$4y+20+\frac{1}{2}=200$$

Գումարեք 20 \frac{1}{2}-ին:

$$4y+\frac{41}{2}=200$$

Հանեք \frac{41}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$4y=\frac{359}{2}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$y=\frac{359}{8}$$

Փոխարինեք \frac{359}{8}-ը y-ով x=y+10-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{359}{8}+10$$

Գումարեք 10 \frac{359}{8}-ին:

$$x=\frac{439}{8}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{439}{8},y=\frac{359}{8}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x-y=10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{2-\left(-2\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 10+\frac{1}{4}\times \frac{399}{2}\\-\frac{1}{2}\times 10+\frac{1}{4}\times \frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{439}{8}\\\frac{359}{8}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{439}{8},y=\frac{359}{8}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x-y=10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

x-ը և 2x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$2x+2\left(-1\right)y=2\times 10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

Պարզեցնել:

$$2x-2y=20,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

Հանեք 2x+2y+\frac{1}{2}=200 2x-2y=20-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$2x-2x-2y-2y-\frac{1}{2}=20-200$$

Գումարեք 2x -2x-ին: 2x-ը և -2x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-2y-2y-\frac{1}{2}=20-200$$

Գումարեք -2y -2y-ին:

$$-4y-\frac{1}{2}=20-200$$

Գումարեք 20 -200-ին:

$$-4y-\frac{1}{2}=-180$$

Գումարեք \frac{1}{2} հավասարման երկու կողմին:

$$-4y=-\frac{359}{2}$$

Բաժանեք երկու կողմերը -4-ի:

$$y=\frac{359}{8}$$

Փոխարինեք \frac{359}{8}-ը y-ով 2x+2y+\frac{1}{2}=200-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$2x+2\times \frac{359}{8}+\frac{1}{2}=200$$

Բազմապատկեք 2 անգամ \frac{359}{8}:

$$2x+\frac{359}{4}+\frac{1}{2}=200$$

Գումարեք \frac{359}{4} \frac{1}{2}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$2x+\frac{361}{4}=200$$

Հանեք \frac{361}{4} հավասարման երկու կողմից:

$$2x=\frac{439}{4}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{439}{8}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{439}{8},y=\frac{359}{8}$$