Լուծեք {l}{x-7y=6}{5x+3y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 7 y = 6 } \\ { 5 x + 3 y = 2 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=\frac{16}{19}\approx 0.842105263$$

$$y=-\frac{14}{19}\approx -0.736842105$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x-7y=6,5x+3y=2$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x-7y=6$$

Գումարեք 7y հավասարման երկու կողմին:

$$x=7y+6$$

Փոխարինեք 7y+6-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 5x+3y=2:

$$5\left(7y+6\right)+3y=2$$

Բազմապատկեք 5 անգամ 7y+6:

$$35y+30+3y=2$$

Գումարեք 35y 3y-ին:

$$38y+30=2$$

Հանեք 30 հավասարման երկու կողմից:

$$38y=-28$$

Բաժանեք երկու կողմերը 38-ի:

$$y=-\frac{14}{19}$$

Փոխարինեք -\frac{14}{19}-ը y-ով x=7y+6-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=7\left(-\frac{14}{19}\right)+6$$

Բազմապատկեք 7 անգամ -\frac{14}{19}:

$$x=-\frac{98}{19}+6$$

Գումարեք 6 -\frac{98}{19}-ին:

$$x=\frac{16}{19}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{16}{19},y=-\frac{14}{19}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x-7y=6,5x+3y=2$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-7\times 5\right)}&-\frac{-7}{3-\left(-7\times 5\right)}\\-\frac{5}{3-\left(-7\times 5\right)}&\frac{1}{3-\left(-7\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{38}&\frac{7}{38}\\-\frac{5}{38}&\frac{1}{38}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{38}\times 6+\frac{7}{38}\times 2\\-\frac{5}{38}\times 6+\frac{1}{38}\times 2\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{19}\\-\frac{14}{19}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{16}{19},y=-\frac{14}{19}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x-7y=6,5x+3y=2$$

x-ը և 5x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 5-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$5x+5\left(-7\right)y=5\times 6,5x+3y=2$$

Պարզեցնել:

$$5x-35y=30,5x+3y=2$$

Հանեք 5x+3y=2 5x-35y=30-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$5x-5x-35y-3y=30-2$$

Գումարեք 5x -5x-ին: 5x-ը և -5x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-35y-3y=30-2$$

Գումարեք -35y -3y-ին:

$$-38y=30-2$$

Գումարեք 30 -2-ին:

$$-38y=28$$

Բաժանեք երկու կողմերը -38-ի:

$$y=-\frac{14}{19}$$

Փոխարինեք -\frac{14}{19}-ը y-ով 5x+3y=2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$5x+3\left(-\frac{14}{19}\right)=2$$

Բազմապատկեք 3 անգամ -\frac{14}{19}:

$$5x-\frac{42}{19}=2$$

Գումարեք \frac{42}{19} հավասարման երկու կողմին:

$$5x=\frac{80}{19}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=\frac{16}{19}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{16}{19},y=-\frac{14}{19}$$