Լուծեք {l}{x-3=y}{x/4-1=y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 3 = y } \\ { \frac { x } { 4 } - 1 = y } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք y երկու կողմերից:

$$x-3-y=0$$

Հավելել 3-ը երկու կողմերում: Ցանկացած թվին գումարելով զրո ստացվում է նույն թիվը:

$$x-y=3$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք y երկու կողմերից:

$$\frac{x}{4}-1-y=0$$

Հավելել 1-ը երկու կողմերում: Ցանկացած թվին գումարելով զրո ստացվում է նույն թիվը:

$$\frac{x}{4}-y=1$$

Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 4-ով:

$$x-4y=4$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x-y=3,x-4y=4$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x-y=3$$

Գումարեք y հավասարման երկու կողմին:

$$x=y+3$$

Փոխարինեք y+3-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ x-4y=4:

$$y+3-4y=4$$

Գումարեք y -4y-ին:

$$-3y+3=4$$

Հանեք 3 հավասարման երկու կողմից:

$$-3y=1$$

Բաժանեք երկու կողմերը -3-ի:

$$y=-\frac{1}{3}$$

Փոխարինեք -\frac{1}{3}-ը y-ով x=y+3-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{1}{3}+3$$

Գումարեք 3 -\frac{1}{3}-ին:

$$x=\frac{8}{3}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{8}{3},y=-\frac{1}{3}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք y երկու կողմերից:

$$x-3-y=0$$

Հավելել 3-ը երկու կողմերում: Ցանկացած թվին գումարելով զրո ստացվում է նույն թիվը:

$$x-y=3$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք y երկու կողմերից:

$$\frac{x}{4}-1-y=0$$

Հավելել 1-ը երկու կողմերում: Ցանկացած թվին գումարելով զրո ստացվում է նույն թիվը:

$$\frac{x}{4}-y=1$$

Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 4-ով:

$$x-4y=4$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x-y=3,x-4y=4$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-4-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-4-\left(-1\right)}&\frac{1}{-4-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\times 3-\frac{1}{3}\times 4\\\frac{1}{3}\times 3-\frac{1}{3}\times 4\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{8}{3},y=-\frac{1}{3}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք y երկու կողմերից:

$$x-3-y=0$$

Հավելել 3-ը երկու կողմերում: Ցանկացած թվին գումարելով զրո ստացվում է նույն թիվը:

$$x-y=3$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք y երկու կողմերից:

$$\frac{x}{4}-1-y=0$$

Հավելել 1-ը երկու կողմերում: Ցանկացած թվին գումարելով զրո ստացվում է նույն թիվը:

$$\frac{x}{4}-y=1$$

Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 4-ով:

$$x-4y=4$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x-y=3,x-4y=4$$

Հանեք x-4y=4 x-y=3-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$x-x-y+4y=3-4$$

Գումարեք x -x-ին: x-ը և -x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-y+4y=3-4$$

Գումարեք -y 4y-ին:

$$3y=3-4$$

Գումարեք 3 -4-ին:

$$3y=-1$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$y=-\frac{1}{3}$$

Փոխարինեք -\frac{1}{3}-ը y-ով x-4y=4-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x-4\left(-\frac{1}{3}\right)=4$$

Բազմապատկեք -4 անգամ -\frac{1}{3}:

$$x+\frac{4}{3}=4$$

Հանեք \frac{4}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$x=\frac{8}{3}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{8}{3},y=-\frac{1}{3}$$