Լուծեք {l}{x-y+3/2=3x+y+1}{5x+y/2=2x-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - \frac { y + 3 } { 2 } = 3 x + y + 1 } \\ { \frac { 5 x + y } { 2 } = 2 x - 1 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=1$$

$$y=-3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 2-ով:

$$2x-\left(y+3\right)=6x+2y+2$$

y+3-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$2x-y-3=6x+2y+2$$

Հանեք 6x երկու կողմերից:

$$2x-y-3-6x=2y+2$$

Համակցեք 2x և -6x և ստացեք -4x:

$$-4x-y-3=2y+2$$

Հանեք 2y երկու կողմերից:

$$-4x-y-3-2y=2$$

Համակցեք -y և -2y և ստացեք -3y:

$$-4x-3y-3=2$$

Հավելել 3-ը երկու կողմերում:

$$-4x-3y=2+3$$

Գումարեք 2 և 3 և ստացեք 5:

$$-4x-3y=5$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 2-ով:

$$5x+y=4x-2$$

Հանեք 4x երկու կողմերից:

$$5x+y-4x=-2$$

Համակցեք 5x և -4x և ստացեք x:

$$x+y=-2$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$-4x-3y=5,x+y=-2$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$-4x-3y=5$$

Գումարեք 3y հավասարման երկու կողմին:

$$-4x=3y+5$$

Բաժանեք երկու կողմերը -4-ի:

$$x=-\frac{1}{4}\left(3y+5\right)$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{4} անգամ 3y+5:

$$x=-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}$$

Փոխարինեք \frac{-3y-5}{4}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ x+y=-2:

$$-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}+y=-2$$

Գումարեք -\frac{3y}{4} y-ին:

$$\frac{1}{4}y-\frac{5}{4}=-2$$

Գումարեք \frac{5}{4} հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{1}{4}y=-\frac{3}{4}$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը 4-ով:

$$y=-3$$

Փոխարինեք -3-ը y-ով x=-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{3}{4}\left(-3\right)-\frac{5}{4}$$

Բազմապատկեք -\frac{3}{4} անգամ -3:

$$x=\frac{9-5}{4}$$

Գումարեք -\frac{5}{4} \frac{9}{4}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1,y=-3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 2-ով:

$$2x-\left(y+3\right)=6x+2y+2$$

y+3-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$2x-y-3=6x+2y+2$$

Հանեք 6x երկու կողմերից:

$$2x-y-3-6x=2y+2$$

Համակցեք 2x և -6x և ստացեք -4x:

$$-4x-y-3=2y+2$$

Հանեք 2y երկու կողմերից:

$$-4x-y-3-2y=2$$

Համակցեք -y և -2y և ստացեք -3y:

$$-4x-3y-3=2$$

Հավելել 3-ը երկու կողմերում:

$$-4x-3y=2+3$$

Գումարեք 2 և 3 և ստացեք 5:

$$-4x-3y=5$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 2-ով:

$$5x+y=4x-2$$

Հանեք 4x երկու կողմերից:

$$5x+y-4x=-2$$

Համակցեք 5x և -4x և ստացեք x:

$$x+y=-2$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-4x-3y=5,x+y=-2$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-4-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-4-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-4-\left(-3\right)}&-\frac{4}{-4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-3\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5-3\left(-2\right)\\5+4\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=1,y=-3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 2-ով:

$$2x-\left(y+3\right)=6x+2y+2$$

y+3-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$2x-y-3=6x+2y+2$$

Հանեք 6x երկու կողմերից:

$$2x-y-3-6x=2y+2$$

Համակցեք 2x և -6x և ստացեք -4x:

$$-4x-y-3=2y+2$$

Հանեք 2y երկու կողմերից:

$$-4x-y-3-2y=2$$

Համակցեք -y և -2y և ստացեք -3y:

$$-4x-3y-3=2$$

Հավելել 3-ը երկու կողմերում:

$$-4x-3y=2+3$$

Գումարեք 2 և 3 և ստացեք 5:

$$-4x-3y=5$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 2-ով:

$$5x+y=4x-2$$

Հանեք 4x երկու կողմերից:

$$5x+y-4x=-2$$

Համակցեք 5x և -4x և ստացեք x:

$$x+y=-2$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-4x-3y=5,x+y=-2$$

-4x-ը և x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ -4-ով:

$$-4x-3y=5,-4x-4y=-4\left(-2\right)$$

Պարզեցնել:

$$-4x-3y=5,-4x-4y=8$$

Հանեք -4x-4y=8 -4x-3y=5-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-4x+4x-3y+4y=5-8$$

Գումարեք -4x 4x-ին: -4x-ը և 4x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-3y+4y=5-8$$

Գումարեք -3y 4y-ին:

$$y=5-8$$

Գումարեք 5 -8-ին:

$$y=-3$$

Փոխարինեք -3-ը y-ով x+y=-2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x-3=-2$$

Գումարեք 3 հավասարման երկու կողմին:

$$x=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1,y=-3$$