Լուծեք {l}{x=3y}{2y-3x=28}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 3 y } \\ { 2 y - 3 x = 28 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-12$$

$$y=-4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 3y երկու կողմերից:

$$x-3y=0$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x-3y=0,-3x+2y=28$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x-3y=0$$

Գումարեք 3y հավասարման երկու կողմին:

$$x=3y$$

Փոխարինեք 3y-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -3x+2y=28:

$$-3\times 3y+2y=28$$

Բազմապատկեք -3 անգամ 3y:

$$-9y+2y=28$$

Գումարեք -9y 2y-ին:

$$-7y=28$$

Բաժանեք երկու կողմերը -7-ի:

$$y=-4$$

Փոխարինեք -4-ը y-ով x=3y-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=3\left(-4\right)$$

Բազմապատկեք 3 անգամ -4:

$$x=-12$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-12,y=-4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 3y երկու կողմերից:

$$x-3y=0$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x-3y=0,-3x+2y=28$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\28\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&-3\\-3&2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\28\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\28\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\28\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-3\left(-3\right)\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{2-\left(-3\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{2-\left(-3\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\28\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}&-\frac{3}{7}\\-\frac{3}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\28\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{7}\times 28\\-\frac{1}{7}\times 28\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\-4\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-12,y=-4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 3y երկու կողմերից:

$$x-3y=0$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x-3y=0,-3x+2y=28$$

x-ը և -3x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$-3x-3\left(-3\right)y=0,-3x+2y=28$$

Պարզեցնել:

$$-3x+9y=0,-3x+2y=28$$

Հանեք -3x+2y=28 -3x+9y=0-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-3x+3x+9y-2y=-28$$

Գումարեք -3x 3x-ին: -3x-ը և 3x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$9y-2y=-28$$

Գումարեք 9y -2y-ին:

$$7y=-28$$

Բաժանեք երկու կողմերը 7-ի:

$$y=-4$$

Փոխարինեք -4-ը y-ով -3x+2y=28-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-3x+2\left(-4\right)=28$$

Բազմապատկեք 2 անգամ -4:

$$-3x-8=28$$

Գումարեք 8 հավասարման երկու կողմին:

$$-3x=36$$

Բաժանեք երկու կողմերը -3-ի:

$$x=-12$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-12,y=-4$$