Լուծեք {l}{x=-1/4y+5}{3x+2y=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = - \frac { 1 } { 4 } y + 5 } \\ { 3 x + 2 y = 0 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=8$$

$$y=-12$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավելել \frac{1}{4}y-ը երկու կողմերում:

$$x+\frac{1}{4}y=5$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x+\frac{1}{4}y=5,3x+2y=0$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x+\frac{1}{4}y=5$$

Հանեք \frac{y}{4} հավասարման երկու կողմից:

$$x=-\frac{1}{4}y+5$$

Փոխարինեք -\frac{y}{4}+5-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3x+2y=0:

$$3\left(-\frac{1}{4}y+5\right)+2y=0$$

Բազմապատկեք 3 անգամ -\frac{y}{4}+5:

$$-\frac{3}{4}y+15+2y=0$$

Գումարեք -\frac{3y}{4} 2y-ին:

$$\frac{5}{4}y+15=0$$

Հանեք 15 հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{5}{4}y=-15$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{5}{4}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-12$$

Փոխարինեք -12-ը y-ով x=-\frac{1}{4}y+5-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{1}{4}\left(-12\right)+5$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{4} անգամ -12:

$$x=3+5$$

Գումարեք 5 3-ին:

$$x=8$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=8,y=-12$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավելել \frac{1}{4}y-ը երկու կողմերում:

$$x+\frac{1}{4}y=5$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x+\frac{1}{4}y=5,3x+2y=0$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\frac{1}{4}\times 3}&-\frac{\frac{1}{4}}{2-\frac{1}{4}\times 3}\\-\frac{3}{2-\frac{1}{4}\times 3}&\frac{1}{2-\frac{1}{4}\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{12}{5}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}\times 5\\-\frac{12}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=8,y=-12$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավելել \frac{1}{4}y-ը երկու կողմերում:

$$x+\frac{1}{4}y=5$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x+\frac{1}{4}y=5,3x+2y=0$$

x-ը և 3x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$3x+3\times \frac{1}{4}y=3\times 5,3x+2y=0$$

Պարզեցնել:

$$3x+\frac{3}{4}y=15,3x+2y=0$$

Հանեք 3x+2y=0 3x+\frac{3}{4}y=15-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$3x-3x+\frac{3}{4}y-2y=15$$

Գումարեք 3x -3x-ին: 3x-ը և -3x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$\frac{3}{4}y-2y=15$$

Գումարեք \frac{3y}{4} -2y-ին:

$$-\frac{5}{4}y=15$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{5}{4}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-12$$

Փոխարինեք -12-ը y-ով 3x+2y=0-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$3x+2\left(-12\right)=0$$

Բազմապատկեք 2 անգամ -12:

$$3x-24=0$$

Գումարեք 24 հավասարման երկու կողմին:

$$3x=24$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=8$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=8,y=-12$$