Լուծեք {l}{x=3/4y}{y=8/9x-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = \frac { 3 } { 4 } y } \\ { y = \frac { 8 } { 9 } x - 4 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-9$$

$$y=-12$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք \frac{3}{4}y երկու կողմերից:

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք \frac{8}{9}x երկու կողմերից:

$$y-\frac{8}{9}x=-4$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x-\frac{3}{4}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

Գումարեք \frac{3y}{4} հավասարման երկու կողմին:

$$x=\frac{3}{4}y$$

Փոխարինեք \frac{3y}{4}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -\frac{8}{9}x+y=-4:

$$-\frac{8}{9}\times \frac{3}{4}y+y=-4$$

Բազմապատկեք -\frac{8}{9} անգամ \frac{3y}{4}:

$$-\frac{2}{3}y+y=-4$$

Գումարեք -\frac{2y}{3} y-ին:

$$\frac{1}{3}y=-4$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը 3-ով:

$$y=-12$$

Փոխարինեք -12-ը y-ով x=\frac{3}{4}y-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{3}{4}\left(-12\right)$$

Բազմապատկեք \frac{3}{4} անգամ -12:

$$x=-9$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-9,y=-12$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք \frac{3}{4}y երկու կողմերից:

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք \frac{8}{9}x երկու կողմերից:

$$y-\frac{8}{9}x=-4$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x-\frac{3}{4}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}&-\frac{-\frac{3}{4}}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{8}{9}}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&\frac{9}{4}\\\frac{8}{3}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{4}\left(-4\right)\\3\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-9,y=-12$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք \frac{3}{4}y երկու կողմերից:

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք \frac{8}{9}x երկու կողմերից:

$$y-\frac{8}{9}x=-4$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x-\frac{3}{4}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

x-ը և -\frac{8x}{9}-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -\frac{8}{9}-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$-\frac{8}{9}x-\frac{8}{9}\left(-\frac{3}{4}\right)y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

Պարզեցնել:

$$-\frac{8}{9}x+\frac{2}{3}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

Հանեք -\frac{8}{9}x+y=-4 -\frac{8}{9}x+\frac{2}{3}y=0-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-\frac{8}{9}x+\frac{8}{9}x+\frac{2}{3}y-y=4$$

Գումարեք -\frac{8x}{9} \frac{8x}{9}-ին: -\frac{8x}{9}-ը և \frac{8x}{9}-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$\frac{2}{3}y-y=4$$

Գումարեք \frac{2y}{3} -y-ին:

$$-\frac{1}{3}y=4$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը -3-ով:

$$y=-12$$

Փոխարինեք -12-ը y-ով -\frac{8}{9}x+y=-4-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-\frac{8}{9}x-12=-4$$

Գումարեք 12 հավասարման երկու կողմին:

$$-\frac{8}{9}x=8$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{8}{9}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$x=-9$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-9,y=-12$$