Լուծեք {l}{x+y=20}{5x-2y=72}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 20 } \\ { 5 x - 2 y = 72 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=16$$

$$y=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x+y=20,5x-2y=72$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x+y=20$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$x=-y+20$$

Փոխարինեք -y+20-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 5x-2y=72:

$$5\left(-y+20\right)-2y=72$$

Բազմապատկեք 5 անգամ -y+20:

$$-5y+100-2y=72$$

Գումարեք -5y -2y-ին:

$$-7y+100=72$$

Հանեք 100 հավասարման երկու կողմից:

$$-7y=-28$$

Բաժանեք երկու կողմերը -7-ի:

$$y=4$$

Փոխարինեք 4-ը y-ով x=-y+20-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-4+20$$

Գումարեք 20 -4-ին:

$$x=16$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=16,y=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x+y=20,5x-2y=72$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\72\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&1\\5&-2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\72\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\72\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\72\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-5}&-\frac{1}{-2-5}\\-\frac{5}{-2-5}&\frac{1}{-2-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\72\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\\\frac{5}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\72\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 20+\frac{1}{7}\times 72\\\frac{5}{7}\times 20-\frac{1}{7}\times 72\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\4\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=16,y=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x+y=20,5x-2y=72$$

x-ը և 5x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 5-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$5x+5y=5\times 20,5x-2y=72$$

Պարզեցնել:

$$5x+5y=100,5x-2y=72$$

Հանեք 5x-2y=72 5x+5y=100-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$5x-5x+5y+2y=100-72$$

Գումարեք 5x -5x-ին: 5x-ը և -5x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$5y+2y=100-72$$

Գումարեք 5y 2y-ին:

$$7y=100-72$$

Գումարեք 100 -72-ին:

$$7y=28$$

Բաժանեք երկու կողմերը 7-ի:

$$y=4$$

Փոխարինեք 4-ը y-ով 5x-2y=72-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$5x-2\times 4=72$$

Բազմապատկեք -2 անգամ 4:

$$5x-8=72$$

Գումարեք 8 հավասարման երկու կողմին:

$$5x=80$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=16$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=16,y=4$$