Լուծեք {l}{x+y=2}{5x+3y=13}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 2 } \\ { 5 x + 3 y = 13 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3.5$$

$$y = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x+y=2,5x+3y=13$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x+y=2$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$x=-y+2$$

Փոխարինեք -y+2-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 5x+3y=13:

$$5\left(-y+2\right)+3y=13$$

Բազմապատկեք 5 անգամ -y+2:

$$-5y+10+3y=13$$

Գումարեք -5y 3y-ին:

$$-2y+10=13$$

Հանեք 10 հավասարման երկու կողմից:

$$-2y=3$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$y=-\frac{3}{2}$$

Փոխարինեք -\frac{3}{2}-ը y-ով x=-y+2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\left(-\frac{3}{2}\right)+2$$

Բազմապատկեք -1 անգամ -\frac{3}{2}:

$$x=\frac{3}{2}+2$$

Գումարեք 2 \frac{3}{2}-ին:

$$x=\frac{7}{2}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{7}{2},y=-\frac{3}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x+y=2,5x+3y=13$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\13\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\13\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\13\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-5}&-\frac{1}{3-5}\\-\frac{5}{3-5}&\frac{1}{3-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\13\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{5}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\13\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}\times 2+\frac{1}{2}\times 13\\\frac{5}{2}\times 2-\frac{1}{2}\times 13\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{7}{2},y=-\frac{3}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x+y=2,5x+3y=13$$

x-ը և 5x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 5-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$5x+5y=5\times 2,5x+3y=13$$

Պարզեցնել:

$$5x+5y=10,5x+3y=13$$

Հանեք 5x+3y=13 5x+5y=10-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$5x-5x+5y-3y=10-13$$

Գումարեք 5x -5x-ին: 5x-ը և -5x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$5y-3y=10-13$$

Գումարեք 5y -3y-ին:

$$2y=10-13$$

Գումարեք 10 -13-ին:

$$2y=-3$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$y=-\frac{3}{2}$$

Փոխարինեք -\frac{3}{2}-ը y-ով 5x+3y=13-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$5x+3\left(-\frac{3}{2}\right)=13$$

Բազմապատկեք 3 անգամ -\frac{3}{2}:

$$5x-\frac{9}{2}=13$$

Գումարեք \frac{9}{2} հավասարման երկու կողմին:

$$5x=\frac{35}{2}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=\frac{7}{2}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{7}{2},y=-\frac{3}{2}$$