Լուծեք {l}{x+y=16}{x^2+y^2=64}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 16 } \\ { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 64 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար (complex solution)

$$x=8+4\sqrt{2}i\approx 8+5.656854249i\text{, }y=-4\sqrt{2}i+8\approx 8-5.656854249i$$

$$x=-4\sqrt{2}i+8\approx 8-5.656854249i\text{, }y=8+4\sqrt{2}i\approx 8+5.656854249i$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինման և քառակուսու բանաձևը

Լուծեք x+y=16-ը x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x+y=16$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$x=-y+16$$

Փոխարինեք -y+16-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ y^{2}+x^{2}=64:

$$y^{2}+\left(-y+16\right)^{2}=64$$

-y+16-ի քառակուսի:

$$y^{2}+y^{2}-32y+256=64$$

Գումարեք y^{2} y^{2}-ին:

$$2y^{2}-32y+256=64$$

Հանեք 64 հավասարման երկու կողմից:

$$2y^{2}-32y+192=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 1+1\left(-1\right)^{2}-ը a-ով, 1\times 16\left(-1\right)\times 2-ը b-ով և 192-ը c-ով:

$$y=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 2\times 192}}{2\times 2}$$

1\times 16\left(-1\right)\times 2-ի քառակուսի:

$$y=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 2\times 192}}{2\times 2}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 1+1\left(-1\right)^{2}:

$$y=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-8\times 192}}{2\times 2}$$

Բազմապատկեք -8 անգամ 192:

$$y=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1536}}{2\times 2}$$

Գումարեք 1024 -1536-ին:

$$y=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{-512}}{2\times 2}$$

Հանեք -512-ի քառակուսի արմատը:

$$y=\frac{-\left(-32\right)±16\sqrt{2}i}{2\times 2}$$

1\times 16\left(-1\right)\times 2 թվի հակադրությունը 32 է:

$$y=\frac{32±16\sqrt{2}i}{2\times 2}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 1+1\left(-1\right)^{2}:

$$y=\frac{32±16\sqrt{2}i}{4}$$

Այժմ լուծել y=\frac{32±16\sqrt{2}i}{4} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք 32 16i\sqrt{2}-ին:

$$y=\frac{32+2^{\frac{9}{2}}i}{4}$$

Բաժանեք 32+i\times 2^{\frac{9}{2}}-ը 4-ի վրա:

$$y=8+2^{\frac{5}{2}}i$$

Այժմ լուծել y=\frac{32±16\sqrt{2}i}{4} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 16i\sqrt{2} 32-ից:

$$y=\frac{-2^{\frac{9}{2}}i+32}{4}$$

Բաժանեք 32-i\times 2^{\frac{9}{2}}-ը 4-ի վրա:

$$y=-2^{\frac{5}{2}}i+8$$

Երկու լուծման եղանակ կա y-ի համար՝ 8+i\times 2^{\frac{5}{2}} և 8-i\times 2^{\frac{5}{2}}: Փոխարինեք 8+i\times 2^{\frac{5}{2}}-ը y-ով x=-y+16 հավասրաման մեջ և գտեք x-ի համապատասխան լուծումը, որը համապատասխանում է երկու հավասարմանը:

$$x=-\left(8+2^{\frac{5}{2}}i\right)+16$$

Այժմ փոխարինեք 8-i\times 2^{\frac{5}{2}}-ը y-ով x=-y+16 հավասարման մեջ և լուծեք՝ գտնելով x-ի համապատասխան լուծումը, որը համապատասխանում է երկու հավասարմանը:

$$x=-\left(-2^{\frac{5}{2}}i+8\right)+16$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\left(8+2^{\frac{5}{2}}i\right)+16,y=8+2^{\frac{5}{2}}i\text{ or }x=-\left(-2^{\frac{5}{2}}i+8\right)+16,y=-2^{\frac{5}{2}}i+8$$