Լուծեք {l}{x+y=15}{250x+80y=2900}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 15 } \\ { 250 x + 80 y = 2900 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=10$$

$$y=5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x+y=15,250x+80y=2900$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x+y=15$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$x=-y+15$$

Փոխարինեք -y+15-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 250x+80y=2900:

$$250\left(-y+15\right)+80y=2900$$

Բազմապատկեք 250 անգամ -y+15:

$$-250y+3750+80y=2900$$

Գումարեք -250y 80y-ին:

$$-170y+3750=2900$$

Հանեք 3750 հավասարման երկու կողմից:

$$-170y=-850$$

Բաժանեք երկու կողմերը -170-ի:

$$y=5$$

Փոխարինեք 5-ը y-ով x=-y+15-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-5+15$$

Գումարեք 15 -5-ին:

$$x=10$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=10,y=5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x+y=15,250x+80y=2900$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{80-250}&-\frac{1}{80-250}\\-\frac{250}{80-250}&\frac{1}{80-250}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{17}&\frac{1}{170}\\\frac{25}{17}&-\frac{1}{170}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{17}\times 15+\frac{1}{170}\times 2900\\\frac{25}{17}\times 15-\frac{1}{170}\times 2900\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=10,y=5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x+y=15,250x+80y=2900$$

x-ը և 250x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 250-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$250x+250y=250\times 15,250x+80y=2900$$

Պարզեցնել:

$$250x+250y=3750,250x+80y=2900$$

Հանեք 250x+80y=2900 250x+250y=3750-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$250x-250x+250y-80y=3750-2900$$

Գումարեք 250x -250x-ին: 250x-ը և -250x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$250y-80y=3750-2900$$

Գումարեք 250y -80y-ին:

$$170y=3750-2900$$

Գումարեք 3750 -2900-ին:

$$170y=850$$

Բաժանեք երկու կողմերը 170-ի:

$$y=5$$

Փոխարինեք 5-ը y-ով 250x+80y=2900-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$250x+80\times 5=2900$$

Բազմապատկեք 80 անգամ 5:

$$250x+400=2900$$

Հանեք 400 հավասարման երկու կողմից:

$$250x=2500$$

Բաժանեք երկու կողմերը 250-ի:

$$x=10$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=10,y=5$$