Լուծեք {l}{x+y=0}{3x-y=6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 0 } \\ { 3 x - y = 6 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x+y=0,3x-y=6$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x+y=0$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$x=-y$$

Փոխարինեք -y-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3x-y=6:

$$3\left(-1\right)y-y=6$$

Բազմապատկեք 3 անգամ -y:

$$-3y-y=6$$

Գումարեք -3y -y-ին:

$$-4y=6$$

Բաժանեք երկու կողմերը -4-ի:

$$y=-\frac{3}{2}$$

Փոխարինեք -\frac{3}{2}-ը y-ով x=-y-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\left(-\frac{3}{2}\right)$$

Բազմապատկեք -1 անգամ -\frac{3}{2}:

$$x=\frac{3}{2}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{3}{2},y=-\frac{3}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x+y=0,3x-y=6$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&1\\3&-1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-3}&-\frac{1}{-1-3}\\-\frac{3}{-1-3}&\frac{1}{-1-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 6\\-\frac{1}{4}\times 6\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{3}{2},y=-\frac{3}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x+y=0,3x-y=6$$

x-ը և 3x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$3x+3y=0,3x-y=6$$

Հանեք 3x-y=6 3x+3y=0-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$3x-3x+3y+y=-6$$

Գումարեք 3x -3x-ին: 3x-ը և -3x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$3y+y=-6$$

Գումարեք 3y y-ին:

$$4y=-6$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$y=-\frac{3}{2}$$

Փոխարինեք -\frac{3}{2}-ը y-ով 3x-y=6-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$3x-\left(-\frac{3}{2}\right)=6$$

Հանեք \frac{3}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$3x=\frac{9}{2}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{3}{2}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{3}{2},y=-\frac{3}{2}$$