Լուծեք {l}{x+my=a}{x-ny=b}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + m y = a } \\ { x - n y = b } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{bm+an}{m+n}\text{, }y=-\frac{b-a}{m+n}\text{, }&m\neq -n\\x=ny+b\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&a=b\text{ and }m=-n\\x=b\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&m=0\text{ and }n=0\text{ and }a=b\end{matrix}\right.$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x+my=a,x+\left(-n\right)y=b$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x+my=a$$

Հանեք my հավասարման երկու կողմից:

$$x=\left(-m\right)y+a$$

Փոխարինեք a-my-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ x+\left(-n\right)y=b:

$$\left(-m\right)y+a+\left(-n\right)y=b$$

Գումարեք -my -ny-ին:

$$\left(-m-n\right)y+a=b$$

Հանեք a հավասարման երկու կողմից:

$$\left(-m-n\right)y=b-a$$

Բաժանեք երկու կողմերը -m-n-ի:

$$y=-\frac{b-a}{m+n}$$

Փոխարինեք -\frac{b-a}{m+n}-ը y-ով x=\left(-m\right)y+a-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\left(-m\right)\left(-\frac{b-a}{m+n}\right)+a$$

Բազմապատկեք -m անգամ -\frac{b-a}{m+n}:

$$x=\frac{m\left(b-a\right)}{m+n}+a$$

Գումարեք a \frac{m\left(b-a\right)}{m+n}-ին:

$$x=\frac{bm+an}{m+n}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{bm+an}{m+n},y=-\frac{b-a}{m+n}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x+my=a,x+\left(-n\right)y=b$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{n}{-n-m}&-\frac{m}{-n-m}\\-\frac{1}{-n-m}&\frac{1}{-n-m}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{n}{m+n}&\frac{m}{m+n}\\\frac{1}{m+n}&\frac{1}{-m-n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{n}{m+n}a+\frac{m}{m+n}b\\\frac{1}{m+n}a+\frac{1}{-m-n}b\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{bm+an}{m+n}\\\frac{a-b}{m+n}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{bm+an}{m+n},y=\frac{a-b}{m+n}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x+my=a,x+\left(-n\right)y=b$$

Հանեք x+\left(-n\right)y=b x+my=a-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$x-x+my+ny=a-b$$

Գումարեք x -x-ին: x-ը և -x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$my+ny=a-b$$

Գումարեք my ny-ին:

$$\left(m+n\right)y=a-b$$

Բաժանեք երկու կողմերը m+n-ի:

$$y=\frac{a-b}{m+n}$$

Փոխարինեք \frac{a-b}{m+n}-ը y-ով x+\left(-n\right)y=b-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x+\left(-n\right)\times \frac{a-b}{m+n}=b$$

Բազմապատկեք -n անգամ \frac{a-b}{m+n}:

$$x-\frac{n\left(a-b\right)}{m+n}=b$$

Գումարեք \frac{n\left(a-b\right)}{m+n} հավասարման երկու կողմին:

$$x=\frac{bm+an}{m+n}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{bm+an}{m+n},y=\frac{a-b}{m+n}$$

Լուծել x, y-ի համար

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{bm+an}{m+n}\text{, }y=-\frac{b-a}{m+n}\text{, }&m\neq -n\\x=ny+b\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a=b\text{ and }m=-n\\x=b\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m=0\text{ and }n=0\text{ and }a=b\end{matrix}\right.$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x+my=a,x+\left(-n\right)y=b$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x+my=a$$

Հանեք my հավասարման երկու կողմից:

$$x=\left(-m\right)y+a$$

Փոխարինեք a-my-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ x+\left(-n\right)y=b:

$$\left(-m\right)y+a+\left(-n\right)y=b$$

Գումարեք -my -ny-ին:

$$\left(-m-n\right)y+a=b$$

Հանեք a հավասարման երկու կողմից:

$$\left(-m-n\right)y=b-a$$

Բաժանեք երկու կողմերը -m-n-ի:

$$y=-\frac{b-a}{m+n}$$

Փոխարինեք -\frac{b-a}{m+n}-ը y-ով x=\left(-m\right)y+a-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\left(-m\right)\left(-\frac{b-a}{m+n}\right)+a$$

Բազմապատկեք -m անգամ -\frac{b-a}{m+n}:

$$x=\frac{m\left(b-a\right)}{m+n}+a$$

Գումարեք a \frac{m\left(b-a\right)}{m+n}-ին:

$$x=\frac{bm+an}{m+n}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{bm+an}{m+n},y=-\frac{b-a}{m+n}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x+my=a,x+\left(-n\right)y=b$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{n}{-n-m}&-\frac{m}{-n-m}\\-\frac{1}{-n-m}&\frac{1}{-n-m}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{n}{m+n}&\frac{m}{m+n}\\\frac{1}{m+n}&\frac{1}{-m-n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{n}{m+n}a+\frac{m}{m+n}b\\\frac{1}{m+n}a+\frac{1}{-m-n}b\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{bm+an}{m+n}\\\frac{a-b}{m+n}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{bm+an}{m+n},y=\frac{a-b}{m+n}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x+my=a,x+\left(-n\right)y=b$$

Հանեք x+\left(-n\right)y=b x+my=a-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$x-x+my+ny=a-b$$

Գումարեք x -x-ին: x-ը և -x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$my+ny=a-b$$

Գումարեք my ny-ին:

$$\left(m+n\right)y=a-b$$

Բաժանեք երկու կողմերը m+n-ի:

$$y=\frac{a-b}{m+n}$$

Փոխարինեք \frac{a-b}{m+n}-ը y-ով x+\left(-n\right)y=b-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x+\left(-n\right)\times \frac{a-b}{m+n}=b$$

Բազմապատկեք -n անգամ \frac{a-b}{m+n}:

$$x-\frac{n\left(a-b\right)}{m+n}=b$$

Գումարեք \frac{n\left(a-b\right)}{m+n} հավասարման երկու կողմին:

$$x=\frac{bm+an}{m+n}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{bm+an}{m+n},y=\frac{a-b}{m+n}$$