Լուծեք {l}{x+5y=5}{3x-2y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 5 y = 5 } \\ { 3 x - 2 y = 3 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{25}{17} = 1\frac{8}{17} \approx 1.470588235$$

$$y=\frac{12}{17}\approx 0.705882353$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x+5y=5,3x-2y=3$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x+5y=5$$

Հանեք 5y հավասարման երկու կողմից:

$$x=-5y+5$$

Փոխարինեք -5y+5-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3x-2y=3:

$$3\left(-5y+5\right)-2y=3$$

Բազմապատկեք 3 անգամ -5y+5:

$$-15y+15-2y=3$$

Գումարեք -15y -2y-ին:

$$-17y+15=3$$

Հանեք 15 հավասարման երկու կողմից:

$$-17y=-12$$

Բաժանեք երկու կողմերը -17-ի:

$$y=\frac{12}{17}$$

Փոխարինեք \frac{12}{17}-ը y-ով x=-5y+5-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-5\times \frac{12}{17}+5$$

Բազմապատկեք -5 անգամ \frac{12}{17}:

$$x=-\frac{60}{17}+5$$

Գումարեք 5 -\frac{60}{17}-ին:

$$x=\frac{25}{17}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{25}{17},y=\frac{12}{17}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x+5y=5,3x-2y=3$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-5\times 3}&-\frac{5}{-2-5\times 3}\\-\frac{3}{-2-5\times 3}&\frac{1}{-2-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}&\frac{5}{17}\\\frac{3}{17}&-\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}\times 5+\frac{5}{17}\times 3\\\frac{3}{17}\times 5-\frac{1}{17}\times 3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{17}\\\frac{12}{17}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{25}{17},y=\frac{12}{17}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x+5y=5,3x-2y=3$$

x-ը և 3x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$3x+3\times 5y=3\times 5,3x-2y=3$$

Պարզեցնել:

$$3x+15y=15,3x-2y=3$$

Հանեք 3x-2y=3 3x+15y=15-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$3x-3x+15y+2y=15-3$$

Գումարեք 3x -3x-ին: 3x-ը և -3x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$15y+2y=15-3$$

Գումարեք 15y 2y-ին:

$$17y=15-3$$

Գումարեք 15 -3-ին:

$$17y=12$$

Բաժանեք երկու կողմերը 17-ի:

$$y=\frac{12}{17}$$

Փոխարինեք \frac{12}{17}-ը y-ով 3x-2y=3-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$3x-2\times \frac{12}{17}=3$$

Բազմապատկեք -2 անգամ \frac{12}{17}:

$$3x-\frac{24}{17}=3$$

Գումարեք \frac{24}{17} հավասարման երկու կողմին:

$$3x=\frac{75}{17}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{25}{17}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{25}{17},y=\frac{12}{17}$$