Լուծեք {l}{x+4y=7}{2x-7y=-31}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 4 y = 7 } \\ { 2 x - 7 y = - 31 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-5$$

$$y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x+4y=7,2x-7y=-31$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x+4y=7$$

Հանեք 4y հավասարման երկու կողմից:

$$x=-4y+7$$

Փոխարինեք -4y+7-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 2x-7y=-31:

$$2\left(-4y+7\right)-7y=-31$$

Բազմապատկեք 2 անգամ -4y+7:

$$-8y+14-7y=-31$$

Գումարեք -8y -7y-ին:

$$-15y+14=-31$$

Հանեք 14 հավասարման երկու կողմից:

$$-15y=-45$$

Բաժանեք երկու կողմերը -15-ի:

$$y=3$$

Փոխարինեք 3-ը y-ով x=-4y+7-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-4\times 3+7$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 3:

$$x=-12+7$$

Գումարեք 7 -12-ին:

$$x=-5$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-5,y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x+4y=7,2x-7y=-31$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&4\\2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-31\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&4\\2&-7\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-31\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-31\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-31\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-7-4\times 2}&-\frac{4}{-7-4\times 2}\\-\frac{2}{-7-4\times 2}&\frac{1}{-7-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-31\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{15}&\frac{4}{15}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-31\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{15}\times 7+\frac{4}{15}\left(-31\right)\\\frac{2}{15}\times 7-\frac{1}{15}\left(-31\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-5,y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x+4y=7,2x-7y=-31$$

x-ը և 2x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$2x+2\times 4y=2\times 7,2x-7y=-31$$

Պարզեցնել:

$$2x+8y=14,2x-7y=-31$$

Հանեք 2x-7y=-31 2x+8y=14-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$2x-2x+8y+7y=14+31$$

Գումարեք 2x -2x-ին: 2x-ը և -2x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$8y+7y=14+31$$

Գումարեք 8y 7y-ին:

$$15y=14+31$$

Գումարեք 14 31-ին:

$$15y=45$$

Բաժանեք երկու կողմերը 15-ի:

$$y=3$$

Փոխարինեք 3-ը y-ով 2x-7y=-31-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$2x-7\times 3=-31$$

Բազմապատկեք -7 անգամ 3:

$$2x-21=-31$$

Գումարեք 21 հավասարման երկու կողմին:

$$2x=-10$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=-5$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-5,y=3$$