Լուծեք {l}{x+3y=19}{3y+7=x+2y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 3 y = 19 } \\ { 3 y + 7 = x + 2 y } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=10$$

$$y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք x երկու կողմերից:

$$3y+7-x=2y$$

Հանեք 2y երկու կողմերից:

$$3y+7-x-2y=0$$

Համակցեք 3y և -2y և ստացեք y:

$$y+7-x=0$$

Հանեք 7 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$y-x=-7$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x+3y=19,-x+y=-7$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x+3y=19$$

Հանեք 3y հավասարման երկու կողմից:

$$x=-3y+19$$

Փոխարինեք -3y+19-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -x+y=-7:

$$-\left(-3y+19\right)+y=-7$$

Բազմապատկեք -1 անգամ -3y+19:

$$3y-19+y=-7$$

Գումարեք 3y y-ին:

$$4y-19=-7$$

Գումարեք 19 հավասարման երկու կողմին:

$$4y=12$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$y=3$$

Փոխարինեք 3-ը y-ով x=-3y+19-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-3\times 3+19$$

Բազմապատկեք -3 անգամ 3:

$$x=-9+19$$

Գումարեք 19 -9-ին:

$$x=10$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=10,y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք x երկու կողմերից:

$$3y+7-x=2y$$

Հանեք 2y երկու կողմերից:

$$3y+7-x-2y=0$$

Համակցեք 3y և -2y և ստացեք y:

$$y+7-x=0$$

Հանեք 7 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$y-x=-7$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x+3y=19,-x+y=-7$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\-7\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&3\\-1&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\-7\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\-7\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\-7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3\left(-1\right)}&-\frac{3}{1-3\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{1-3\left(-1\right)}&\frac{1}{1-3\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\-7\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{3}{4}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\-7\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 19-\frac{3}{4}\left(-7\right)\\\frac{1}{4}\times 19+\frac{1}{4}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=10,y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք x երկու կողմերից:

$$3y+7-x=2y$$

Հանեք 2y երկու կողմերից:

$$3y+7-x-2y=0$$

Համակցեք 3y և -2y և ստացեք y:

$$y+7-x=0$$

Հանեք 7 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$y-x=-7$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x+3y=19,-x+y=-7$$

x-ը և -x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$-x-3y=-19,-x+y=-7$$

Հանեք -x+y=-7 -x-3y=-19-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-x+x-3y-y=-19+7$$

Գումարեք -x x-ին: -x-ը և x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-3y-y=-19+7$$

Գումարեք -3y -y-ին:

$$-4y=-19+7$$

Գումարեք -19 7-ին:

$$-4y=-12$$

Բաժանեք երկու կողմերը -4-ի:

$$y=3$$

Փոխարինեք 3-ը y-ով -x+y=-7-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-x+3=-7$$

Հանեք 3 հավասարման երկու կողմից:

$$-x=-10$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$x=10$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=10,y=3$$