Լուծեք {l}{x+2y=7}{4x+3y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 7 } \\ { 4 x + 3 y = 8 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-1$$

$$y=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x+2y=7,4x+3y=8$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x+2y=7$$

Հանեք 2y հավասարման երկու կողմից:

$$x=-2y+7$$

Փոխարինեք -2y+7-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 4x+3y=8:

$$4\left(-2y+7\right)+3y=8$$

Բազմապատկեք 4 անգամ -2y+7:

$$-8y+28+3y=8$$

Գումարեք -8y 3y-ին:

$$-5y+28=8$$

Հանեք 28 հավասարման երկու կողմից:

$$-5y=-20$$

Բաժանեք երկու կողմերը -5-ի:

$$y=4$$

Փոխարինեք 4-ը y-ով x=-2y+7-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-2\times 4+7$$

Բազմապատկեք -2 անգամ 4:

$$x=-8+7$$

Գումարեք 7 -8-ին:

$$x=-1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-1,y=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x+2y=7,4x+3y=8$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 մատրիցայի՝ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) դեպքում հակադարձ մատրիցան հետևյալն է՝ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ուստի մատրիցայի հավասարումը կարելի է վերագրել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2\times 4}&-\frac{2}{3-2\times 4}\\-\frac{4}{3-2\times 4}&\frac{1}{3-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{4}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}\times 7+\frac{2}{5}\times 8\\\frac{4}{5}\times 7-\frac{1}{5}\times 8\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-1,y=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x+2y=7,4x+3y=8$$

x-ը և 4x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 4-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$4x+4\times 2y=4\times 7,4x+3y=8$$

Պարզեցնել:

$$4x+8y=28,4x+3y=8$$

Հանեք 4x+3y=8 4x+8y=28-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$4x-4x+8y-3y=28-8$$

Գումարեք 4x -4x-ին: 4x-ը և -4x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$8y-3y=28-8$$

Գումարեք 8y -3y-ին:

$$5y=28-8$$

Գումարեք 28 -8-ին:

$$5y=20$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$y=4$$

Փոխարինեք 4-ը y-ով 4x+3y=8-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$4x+3\times 4=8$$

Բազմապատկեք 3 անգամ 4:

$$4x+12=8$$

Հանեք 12 հավասարման երկու կողմից:

$$4x=-4$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=-1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-1,y=4$$