Լուծեք {l}{x+2y=0}{5x+2y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 0 } \\ { 5 x + 2 y = 3 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=\frac{3}{4}=0.75$$

$$y=-\frac{3}{8}=-0.375$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x+2y=0,5x+2y=3$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x+2y=0$$

Հանեք 2y հավասարման երկու կողմից:

$$x=-2y$$

Փոխարինեք -2y-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 5x+2y=3:

$$5\left(-2\right)y+2y=3$$

Բազմապատկեք 5 անգամ -2y:

$$-10y+2y=3$$

Գումարեք -10y 2y-ին:

$$-8y=3$$

Բաժանեք երկու կողմերը -8-ի:

$$y=-\frac{3}{8}$$

Փոխարինեք -\frac{3}{8}-ը y-ով x=-2y-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-2\left(-\frac{3}{8}\right)$$

Բազմապատկեք -2 անգամ -\frac{3}{8}:

$$x=\frac{3}{4}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{3}{4},y=-\frac{3}{8}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x+2y=0,5x+2y=3$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-2\times 5}&-\frac{2}{2-2\times 5}\\-\frac{5}{2-2\times 5}&\frac{1}{2-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{5}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 3\\-\frac{1}{8}\times 3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{3}{4},y=-\frac{3}{8}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x+2y=0,5x+2y=3$$

Հանեք 5x+2y=3 x+2y=0-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$x-5x+2y-2y=-3$$

Գումարեք 2y -2y-ին: 2y-ը և -2y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$x-5x=-3$$

Գումարեք x -5x-ին:

$$-4x=-3$$

Բաժանեք երկու կողմերը -4-ի:

$$x=\frac{3}{4}$$

Փոխարինեք \frac{3}{4}-ը x-ով 5x+2y=3-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$5\times \frac{3}{4}+2y=3$$

Բազմապատկեք 5 անգամ \frac{3}{4}:

$$\frac{15}{4}+2y=3$$

Հանեք \frac{15}{4} հավասարման երկու կողմից:

$$2y=-\frac{3}{4}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$y=-\frac{3}{8}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{3}{4},y=-\frac{3}{8}$$