Լուծեք {l}{k(x-2)=y}{x+y-4=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { k ( x - 2 ) = y } \\ { x + y - 4 = 0 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=\frac{2\left(k+2\right)}{k+1}$$

$$y=\frac{2k}{k+1}$$

$$k\neq -1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ k x-2-ով բազմապատկելու համար:

$$kx-2k=y$$

Հանեք y երկու կողմերից:

$$kx-2k-y=0$$

Հավելել 2k-ը երկու կողմերում: Ցանկացած թվին գումարելով զրո ստացվում է նույն թիվը:

$$kx-y=2k$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել 4-ը երկու կողմերում: Ցանկացած թվին գումարելով զրո ստացվում է նույն թիվը:

$$x+y=4$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$kx-y=2k,x+y=4$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$kx-y=2k$$

Գումարեք y հավասարման երկու կողմին:

$$kx=y+2k$$

Բաժանեք երկու կողմերը k-ի:

$$x=\frac{1}{k}\left(y+2k\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{k} անգամ y+2k:

$$x=\frac{1}{k}y+2$$

Փոխարինեք 2+\frac{y}{k}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ x+y=4:

$$\frac{1}{k}y+2+y=4$$

Գումարեք \frac{y}{k} y-ին:

$$\left(1+\frac{1}{k}\right)y+2=4$$

Հանեք 2 հավասարման երկու կողմից:

$$\left(1+\frac{1}{k}\right)y=2$$

Բաժանեք երկու կողմերը 1+\frac{1}{k}-ի:

$$y=\frac{2k}{k+1}$$

Փոխարինեք \frac{2k}{1+k}-ը y-ով x=\frac{1}{k}y+2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{1}{k}\times \frac{2k}{k+1}+2$$

Բազմապատկեք \frac{1}{k} անգամ \frac{2k}{1+k}:

$$x=\frac{2}{k+1}+2$$

Գումարեք 2 \frac{2}{1+k}-ին:

$$x=\frac{2\left(k+2\right)}{k+1}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{2\left(k+2\right)}{k+1},y=\frac{2k}{k+1}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ k x-2-ով բազմապատկելու համար:

$$kx-2k=y$$

Հանեք y երկու կողմերից:

$$kx-2k-y=0$$

Հավելել 2k-ը երկու կողմերում: Ցանկացած թվին գումարելով զրո ստացվում է նույն թիվը:

$$kx-y=2k$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել 4-ը երկու կողմերում: Ցանկացած թվին գումարելով զրո ստացվում է նույն թիվը:

$$x+y=4$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$kx-y=2k,x+y=4$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}k&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2k\\4\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}k&-1\\1&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}k&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}k&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2k\\4\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}k&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2k\\4\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}k&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2k\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{k-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{k-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{k-\left(-1\right)}&\frac{k}{k-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2k\\4\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{k+1}&\frac{1}{k+1}\\-\frac{1}{k+1}&\frac{k}{k+1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2k\\4\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{k+1}\times 2k+\frac{1}{k+1}\times 4\\\left(-\frac{1}{k+1}\right)\times 2k+\frac{k}{k+1}\times 4\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2\left(k+2\right)}{k+1}\\\frac{2k}{k+1}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{2\left(k+2\right)}{k+1},y=\frac{2k}{k+1}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ k x-2-ով բազմապատկելու համար:

$$kx-2k=y$$

Հանեք y երկու կողմերից:

$$kx-2k-y=0$$

Հավելել 2k-ը երկու կողմերում: Ցանկացած թվին գումարելով զրո ստացվում է նույն թիվը:

$$kx-y=2k$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել 4-ը երկու կողմերում: Ցանկացած թվին գումարելով զրո ստացվում է նույն թիվը:

$$x+y=4$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$kx-y=2k,x+y=4$$

kx-ը և x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ k-ով:

$$kx-y=2k,kx+ky=k\times 4$$

Պարզեցնել:

$$kx-y=2k,kx+ky=4k$$

Հանեք kx+ky=4k kx-y=2k-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$kx+\left(-k\right)x-y+\left(-k\right)y=2k-4k$$

Գումարեք kx -kx-ին: kx-ը և -kx-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-y+\left(-k\right)y=2k-4k$$

Գումարեք -y -ky-ին:

$$\left(-k-1\right)y=2k-4k$$

Գումարեք 2k -4k-ին:

$$\left(-k-1\right)y=-2k$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-k-ի:

$$y=\frac{2k}{k+1}$$

Փոխարինեք \frac{2k}{1+k}-ը y-ով x+y=4-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x+\frac{2k}{k+1}=4$$

Հանեք \frac{2k}{1+k} հավասարման երկու կողմից:

$$x=\frac{2\left(k+2\right)}{k+1}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{2\left(k+2\right)}{k+1},y=\frac{2k}{k+1}$$