Լուծեք {l}{a+5b=2}{a-2b=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a + 5 b = 2 } \\ { a - 2 b = 1 } \end{array} \right.$$

Լուծել a, b-ի համար

$$a = \frac{9}{7} = 1\frac{2}{7} \approx 1.285714286$$

$$b=\frac{1}{7}\approx 0.142857143$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$a+5b=2,a-2b=1$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն a-ի համար՝ առանձնացնելով a-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$a+5b=2$$

Հանեք 5b հավասարման երկու կողմից:

$$a=-5b+2$$

Փոխարինեք -5b+2-ը a-ով մյուս հավասարման մեջ՝ a-2b=1:

$$-5b+2-2b=1$$

Գումարեք -5b -2b-ին:

$$-7b+2=1$$

Հանեք 2 հավասարման երկու կողմից:

$$-7b=-1$$

Բաժանեք երկու կողմերը -7-ի:

$$b=\frac{1}{7}$$

Փոխարինեք \frac{1}{7}-ը b-ով a=-5b+2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես a-ի համար:

$$a=-5\times \frac{1}{7}+2$$

Բազմապատկեք -5 անգամ \frac{1}{7}:

$$a=-\frac{5}{7}+2$$

Գումարեք 2 -\frac{5}{7}-ին:

$$a=\frac{9}{7}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$a=\frac{9}{7},b=\frac{1}{7}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$a+5b=2,a-2b=1$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&5\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&5\\1&-2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-5}&-\frac{5}{-2-5}\\-\frac{1}{-2-5}&\frac{1}{-2-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{1}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 2+\frac{5}{7}\\\frac{1}{7}\times 2-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{7}\\\frac{1}{7}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի a և b տարրերը:

$$a=\frac{9}{7},b=\frac{1}{7}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$a+5b=2,a-2b=1$$

Հանեք a-2b=1 a+5b=2-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$a-a+5b+2b=2-1$$

Գումարեք a -a-ին: a-ը և -a-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$5b+2b=2-1$$

Գումարեք 5b 2b-ին:

$$7b=2-1$$

Գումարեք 2 -1-ին:

$$7b=1$$

Բաժանեք երկու կողմերը 7-ի:

$$b=\frac{1}{7}$$

Փոխարինեք \frac{1}{7}-ը b-ով a-2b=1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես a-ի համար:

$$a-2\times \frac{1}{7}=1$$

Բազմապատկեք -2 անգամ \frac{1}{7}:

$$a-\frac{2}{7}=1$$

Գումարեք \frac{2}{7} հավասարման երկու կողմին:

$$a=\frac{9}{7}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$a=\frac{9}{7},b=\frac{1}{7}$$