Լուծեք {l}{9x-4y=8}{6x-2y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 x - 4 y = 8 } \\ { 6 x - 2 y = 3 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$y = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$9x-4y=8,6x-2y=3$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$9x-4y=8$$

Գումարեք 4y հավասարման երկու կողմին:

$$9x=4y+8$$

Բաժանեք երկու կողմերը 9-ի:

$$x=\frac{1}{9}\left(4y+8\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{9} անգամ 8+4y:

$$x=\frac{4}{9}y+\frac{8}{9}$$

Փոխարինեք \frac{8+4y}{9}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 6x-2y=3:

$$6\left(\frac{4}{9}y+\frac{8}{9}\right)-2y=3$$

Բազմապատկեք 6 անգամ \frac{8+4y}{9}:

$$\frac{8}{3}y+\frac{16}{3}-2y=3$$

Գումարեք \frac{8y}{3} -2y-ին:

$$\frac{2}{3}y+\frac{16}{3}=3$$

Հանեք \frac{16}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{2}{3}y=-\frac{7}{3}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{2}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-\frac{7}{2}$$

Փոխարինեք -\frac{7}{2}-ը y-ով x=\frac{4}{9}y+\frac{8}{9}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{4}{9}\left(-\frac{7}{2}\right)+\frac{8}{9}$$

Բազմապատկեք \frac{4}{9} անգամ -\frac{7}{2}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=\frac{-14+8}{9}$$

Գումարեք \frac{8}{9} -\frac{14}{9}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-\frac{2}{3}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{7}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$9x-4y=8,6x-2y=3$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{9\left(-2\right)-\left(-4\times 6\right)}&-\frac{-4}{9\left(-2\right)-\left(-4\times 6\right)}\\-\frac{6}{9\left(-2\right)-\left(-4\times 6\right)}&\frac{9}{9\left(-2\right)-\left(-4\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-1&\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 8+\frac{2}{3}\times 3\\-8+\frac{3}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\\-\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{7}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$9x-4y=8,6x-2y=3$$

9x-ը և 6x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 6-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 9-ով:

$$6\times 9x+6\left(-4\right)y=6\times 8,9\times 6x+9\left(-2\right)y=9\times 3$$

Պարզեցնել:

$$54x-24y=48,54x-18y=27$$

Հանեք 54x-18y=27 54x-24y=48-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$54x-54x-24y+18y=48-27$$

Գումարեք 54x -54x-ին: 54x-ը և -54x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-24y+18y=48-27$$

Գումարեք -24y 18y-ին:

$$-6y=48-27$$

Գումարեք 48 -27-ին:

$$-6y=21$$

Բաժանեք երկու կողմերը -6-ի:

$$y=-\frac{7}{2}$$

Փոխարինեք -\frac{7}{2}-ը y-ով 6x-2y=3-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$6x-2\left(-\frac{7}{2}\right)=3$$

Բազմապատկեք -2 անգամ -\frac{7}{2}:

$$6x+7=3$$

Հանեք 7 հավասարման երկու կողմից:

$$6x=-4$$

Բաժանեք երկու կողմերը 6-ի:

$$x=-\frac{2}{3}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{7}{2}$$