Լուծեք {l}{9x+2y=62}{4x+4y=36}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 x + 2 y = 62 } \\ { 4 x + 4 y = 36 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{44}{7} = 6\frac{2}{7} \approx 6.285714286$$

$$y = \frac{19}{7} = 2\frac{5}{7} \approx 2.714285714$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$9x+2y=62,4x+4y=36$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$9x+2y=62$$

Հանեք 2y հավասարման երկու կողմից:

$$9x=-2y+62$$

Բաժանեք երկու կողմերը 9-ի:

$$x=\frac{1}{9}\left(-2y+62\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{9} անգամ -2y+62:

$$x=-\frac{2}{9}y+\frac{62}{9}$$

Փոխարինեք \frac{-2y+62}{9}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 4x+4y=36:

$$4\left(-\frac{2}{9}y+\frac{62}{9}\right)+4y=36$$

Բազմապատկեք 4 անգամ \frac{-2y+62}{9}:

$$-\frac{8}{9}y+\frac{248}{9}+4y=36$$

Գումարեք -\frac{8y}{9} 4y-ին:

$$\frac{28}{9}y+\frac{248}{9}=36$$

Հանեք \frac{248}{9} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{28}{9}y=\frac{76}{9}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{28}{9}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{19}{7}$$

Փոխարինեք \frac{19}{7}-ը y-ով x=-\frac{2}{9}y+\frac{62}{9}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{2}{9}\times \frac{19}{7}+\frac{62}{9}$$

Բազմապատկեք -\frac{2}{9} անգամ \frac{19}{7}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{38}{63}+\frac{62}{9}$$

Գումարեք \frac{62}{9} -\frac{38}{63}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=\frac{44}{7}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{44}{7},y=\frac{19}{7}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$9x+2y=62,4x+4y=36$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9\times 4-2\times 4}&-\frac{2}{9\times 4-2\times 4}\\-\frac{4}{9\times 4-2\times 4}&\frac{9}{9\times 4-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{1}{14}\\-\frac{1}{7}&\frac{9}{28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 62-\frac{1}{14}\times 36\\-\frac{1}{7}\times 62+\frac{9}{28}\times 36\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{44}{7}\\\frac{19}{7}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{44}{7},y=\frac{19}{7}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$9x+2y=62,4x+4y=36$$

9x-ը և 4x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 4-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 9-ով:

$$4\times 9x+4\times 2y=4\times 62,9\times 4x+9\times 4y=9\times 36$$

Պարզեցնել:

$$36x+8y=248,36x+36y=324$$

Հանեք 36x+36y=324 36x+8y=248-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$36x-36x+8y-36y=248-324$$

Գումարեք 36x -36x-ին: 36x-ը և -36x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$8y-36y=248-324$$

Գումարեք 8y -36y-ին:

$$-28y=248-324$$

Գումարեք 248 -324-ին:

$$-28y=-76$$

Բաժանեք երկու կողմերը -28-ի:

$$y=\frac{19}{7}$$

Փոխարինեք \frac{19}{7}-ը y-ով 4x+4y=36-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$4x+4\times \frac{19}{7}=36$$

Բազմապատկեք 4 անգամ \frac{19}{7}:

$$4x+\frac{76}{7}=36$$

Հանեք \frac{76}{7} հավասարման երկու կողմից:

$$4x=\frac{176}{7}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=\frac{44}{7}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{44}{7},y=\frac{19}{7}$$