Լուծեք {l}{9m-13n=22}{2m+3n=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 m - 13 n = 22 } \\ { 2 m + 3 n = - 1 } \end{array} \right.$$

Լուծել m, n-ի համար

$$m=1$$

$$n=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$9m-13n=22,2m+3n=-1$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն m-ի համար՝ առանձնացնելով m-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$9m-13n=22$$

Գումարեք 13n հավասարման երկու կողմին:

$$9m=13n+22$$

Բաժանեք երկու կողմերը 9-ի:

$$m=\frac{1}{9}\left(13n+22\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{9} անգամ 13n+22:

$$m=\frac{13}{9}n+\frac{22}{9}$$

Փոխարինեք \frac{13n+22}{9}-ը m-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 2m+3n=-1:

$$2\left(\frac{13}{9}n+\frac{22}{9}\right)+3n=-1$$

Բազմապատկեք 2 անգամ \frac{13n+22}{9}:

$$\frac{26}{9}n+\frac{44}{9}+3n=-1$$

Գումարեք \frac{26n}{9} 3n-ին:

$$\frac{53}{9}n+\frac{44}{9}=-1$$

Հանեք \frac{44}{9} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{53}{9}n=-\frac{53}{9}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{53}{9}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$n=-1$$

Փոխարինեք -1-ը n-ով m=\frac{13}{9}n+\frac{22}{9}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես m-ի համար:

$$m=\frac{13}{9}\left(-1\right)+\frac{22}{9}$$

Բազմապատկեք \frac{13}{9} անգամ -1:

$$m=\frac{-13+22}{9}$$

Գումարեք \frac{22}{9} -\frac{13}{9}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$m=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$m=1,n=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$9m-13n=22,2m+3n=-1$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}&-\frac{-13}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}\\-\frac{2}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}&\frac{9}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{53}&\frac{13}{53}\\-\frac{2}{53}&\frac{9}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{53}\times 22+\frac{13}{53}\left(-1\right)\\-\frac{2}{53}\times 22+\frac{9}{53}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի m և n տարրերը:

$$m=1,n=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$9m-13n=22,2m+3n=-1$$

9m-ը և 2m-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 9-ով:

$$2\times 9m+2\left(-13\right)n=2\times 22,9\times 2m+9\times 3n=9\left(-1\right)$$

Պարզեցնել:

$$18m-26n=44,18m+27n=-9$$

Հանեք 18m+27n=-9 18m-26n=44-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$18m-18m-26n-27n=44+9$$

Գումարեք 18m -18m-ին: 18m-ը և -18m-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-26n-27n=44+9$$

Գումարեք -26n -27n-ին:

$$-53n=44+9$$

Գումարեք 44 9-ին:

$$-53n=53$$

Բաժանեք երկու կողմերը -53-ի:

$$n=-1$$

Փոխարինեք -1-ը n-ով 2m+3n=-1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես m-ի համար:

$$2m+3\left(-1\right)=-1$$

Բազմապատկեք 3 անգամ -1:

$$2m-3=-1$$

Գումարեք 3 հավասարման երկու կողմին:

$$2m=2$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$m=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$m=1,n=-1$$