Լուծեք {l}{7x-5y=2}{5x-3y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x - 5 y = 2 } \\ { 5 x - 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} = 2.25$$

$$y = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2.75$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$7x-5y=2,5x-3y=3$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$7x-5y=2$$

Գումարեք 5y հավասարման երկու կողմին:

$$7x=5y+2$$

Բաժանեք երկու կողմերը 7-ի:

$$x=\frac{1}{7}\left(5y+2\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{7} անգամ 5y+2:

$$x=\frac{5}{7}y+\frac{2}{7}$$

Փոխարինեք \frac{5y+2}{7}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 5x-3y=3:

$$5\left(\frac{5}{7}y+\frac{2}{7}\right)-3y=3$$

Բազմապատկեք 5 անգամ \frac{5y+2}{7}:

$$\frac{25}{7}y+\frac{10}{7}-3y=3$$

Գումարեք \frac{25y}{7} -3y-ին:

$$\frac{4}{7}y+\frac{10}{7}=3$$

Հանեք \frac{10}{7} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{4}{7}y=\frac{11}{7}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{4}{7}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{11}{4}$$

Փոխարինեք \frac{11}{4}-ը y-ով x=\frac{5}{7}y+\frac{2}{7}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{5}{7}\times \frac{11}{4}+\frac{2}{7}$$

Բազմապատկեք \frac{5}{7} անգամ \frac{11}{4}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=\frac{55}{28}+\frac{2}{7}$$

Գումարեք \frac{2}{7} \frac{55}{28}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=\frac{9}{4}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{9}{4},y=\frac{11}{4}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$7x-5y=2,5x-3y=3$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}7&-5\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}7&-5\\5&-3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-5\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-5\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-5\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-5\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-5\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{7\left(-3\right)-\left(-5\times 5\right)}&-\frac{-5}{7\left(-3\right)-\left(-5\times 5\right)}\\-\frac{5}{7\left(-3\right)-\left(-5\times 5\right)}&\frac{7}{7\left(-3\right)-\left(-5\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}&\frac{5}{4}\\-\frac{5}{4}&\frac{7}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}\times 2+\frac{5}{4}\times 3\\-\frac{5}{4}\times 2+\frac{7}{4}\times 3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{4}\\\frac{11}{4}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{9}{4},y=\frac{11}{4}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$7x-5y=2,5x-3y=3$$

7x-ը և 5x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 5-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 7-ով:

$$5\times 7x+5\left(-5\right)y=5\times 2,7\times 5x+7\left(-3\right)y=7\times 3$$

Պարզեցնել:

$$35x-25y=10,35x-21y=21$$

Հանեք 35x-21y=21 35x-25y=10-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$35x-35x-25y+21y=10-21$$

Գումարեք 35x -35x-ին: 35x-ը և -35x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-25y+21y=10-21$$

Գումարեք -25y 21y-ին:

$$-4y=10-21$$

Գումարեք 10 -21-ին:

$$-4y=-11$$

Բաժանեք երկու կողմերը -4-ի:

$$y=\frac{11}{4}$$

Փոխարինեք \frac{11}{4}-ը y-ով 5x-3y=3-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$5x-3\times \frac{11}{4}=3$$

Բազմապատկեք -3 անգամ \frac{11}{4}:

$$5x-\frac{33}{4}=3$$

Գումարեք \frac{33}{4} հավասարման երկու կողմին:

$$5x=\frac{45}{4}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=\frac{9}{4}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{9}{4},y=\frac{11}{4}$$