Լուծեք {l}{7x-3y=5}{x/2+y/3=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x - 3 y = 5 } \\ { \frac { x } { 2 } + \frac { y } { 3 } = 2 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=2$$

$$y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$7x-3y=5,\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=2$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$7x-3y=5$$

Գումարեք 3y հավասարման երկու կողմին:

$$7x=3y+5$$

Բաժանեք երկու կողմերը 7-ի:

$$x=\frac{1}{7}\left(3y+5\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{7} անգամ 3y+5:

$$x=\frac{3}{7}y+\frac{5}{7}$$

Փոխարինեք \frac{3y+5}{7}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ \frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=2:

$$\frac{1}{2}\left(\frac{3}{7}y+\frac{5}{7}\right)+\frac{1}{3}y=2$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ \frac{3y+5}{7}:

$$\frac{3}{14}y+\frac{5}{14}+\frac{1}{3}y=2$$

Գումարեք \frac{3y}{14} \frac{y}{3}-ին:

$$\frac{23}{42}y+\frac{5}{14}=2$$

Հանեք \frac{5}{14} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{23}{42}y=\frac{23}{14}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{23}{42}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=3$$

Փոխարինեք 3-ը y-ով x=\frac{3}{7}y+\frac{5}{7}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{3}{7}\times 3+\frac{5}{7}$$

Բազմապատկեք \frac{3}{7} անգամ 3:

$$x=\frac{9+5}{7}$$

Գումարեք \frac{5}{7} \frac{9}{7}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=2,y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$7x-3y=5,\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=2$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}7&-3\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}7&-3\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-3\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-3\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-3\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-3\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-3\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{3}}{7\times \frac{1}{3}-\left(-3\times \frac{1}{2}\right)}&-\frac{-3}{7\times \frac{1}{3}-\left(-3\times \frac{1}{2}\right)}\\-\frac{\frac{1}{2}}{7\times \frac{1}{3}-\left(-3\times \frac{1}{2}\right)}&\frac{7}{7\times \frac{1}{3}-\left(-3\times \frac{1}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{23}&\frac{18}{23}\\-\frac{3}{23}&\frac{42}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{23}\times 5+\frac{18}{23}\times 2\\-\frac{3}{23}\times 5+\frac{42}{23}\times 2\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=2,y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$7x-3y=5,\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=2$$

7x-ը և \frac{x}{2}-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները \frac{1}{2}-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 7-ով:

$$\frac{1}{2}\times 7x+\frac{1}{2}\left(-3\right)y=\frac{1}{2}\times 5,7\times \frac{1}{2}x+7\times \frac{1}{3}y=7\times 2$$

Պարզեցնել:

$$\frac{7}{2}x-\frac{3}{2}y=\frac{5}{2},\frac{7}{2}x+\frac{7}{3}y=14$$

Հանեք \frac{7}{2}x+\frac{7}{3}y=14 \frac{7}{2}x-\frac{3}{2}y=\frac{5}{2}-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$\frac{7}{2}x-\frac{7}{2}x-\frac{3}{2}y-\frac{7}{3}y=\frac{5}{2}-14$$

Գումարեք \frac{7x}{2} -\frac{7x}{2}-ին: \frac{7x}{2}-ը և -\frac{7x}{2}-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-\frac{3}{2}y-\frac{7}{3}y=\frac{5}{2}-14$$

Գումարեք -\frac{3y}{2} -\frac{7y}{3}-ին:

$$-\frac{23}{6}y=\frac{5}{2}-14$$

Գումարեք \frac{5}{2} -14-ին:

$$-\frac{23}{6}y=-\frac{23}{2}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{23}{6}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=3$$

Փոխարինեք 3-ը y-ով \frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}\times 3=2$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ 3:

$$\frac{1}{2}x+1=2$$

Հանեք 1 հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{1}{2}x=1$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը 2-ով:

$$x=2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=2,y=3$$